Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

уравнений диффузии. Тогда система уравнений

(5.1)

аппрокси­

мируется следующей

разностной:

 

 

 

 

 

 

 

 

диІк+Ч,

 

 

I

1

dpk4U

п

 

 

 

 

 

T t------ ІѴі>+ч> + Т ~

д Г - ==0'

 

 

 

 

 

дѵh+Чг

■ІиЬ+Чг

1

^ f e + V .

А

 

 

 

 

 

dt

 

р

Sy

U*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pk+Чг

Pk-'h

=

-°Т *,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A zk

 

 

 

 

 

 

au k+Чг

 

дѵ.h+Чг

I U'k+\-- Wk __ Q

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

дУ

 

k+Чг

 

 

 

 

 

äTk ■Twk = 0

(к = —1, — 2, . .

— m).

(5.2)

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

системе (5.2) присоединим граничные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

= °>

w-m= О-

 

 

 

(5.3)

 

Решение задачи (5.2)—(5.3) будем

искать

в виде

 

 

 

'щ+чА

 

f u(9)\

 

 

 

(5.4)

 

 

ѵ*+'і,

1 = 2

 

 

 

 

 

 

 

ph+4J

q

\p (q>‘

 

 

 

 

 

 

T*.,

= 'S

(W<9)\

\ z k

 

 

 

(5.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где величины с индексом

 

q — коэффициенты Фурье (не

зависящие

от

к).

что фі+’і/г являются решениями задачи

 

Предположим,

 

 

 

 

 

(?) = - 'М 5(?)>

 

 

 

(5.6)

 

имеет

следующий

вид:

 

 

 

 

 

-

“ і

 

«г

 

 

0

 

.

0

 

 

А =

а 2

-- («2 +

аі)

 

а 2

. . .

0

 

 

0

 

а 3

 

— (а3-г«з) •• .

0

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

.

ат

 

где

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

а*

 

 

 

 

 

Д2

hZ-k

 

 

Az-ft+'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AZ-A+Vi

 

 

 

 

 

 

Чг AZ-fc+l ’

 

 

 

 

 

Вместе с основной задачей (5.6) рассмотрим сопряженную

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

(5.7)

230

с условием биортонормировки

 

 

 

 

 

(ф(?), ф*(9,)) =

1,

qf = q

 

О,

q '^ q .

 

 

 

 

 

Тогда для коэффициентов

Фурье

из (5.4)

и (5.5) получим задачи:

dt

іи«»+ 4 -

др<Ѵ

 

 

 

р

 

дх

 

 

dvW

 

 

 

 

 

г Іи(я) 4- 4

др<-Ѵ>

 

 

dt

 

р ~ЩГ

 

 

ди<У ,

дѵ«Г> |

^

1

dpW _ n

(5.8)

4 ”

ду '

я

оГ

dt

 

 

 

Заметим, что матрица А такова, что Яо =

0 является собственным

числом. Соответствующий собственный вектор ф° своими компонен­ тами имеет одну и ту же константу. Остальные Xq оказываются вещественными и положительными.

Рассмотрим теперь более общее граничное условие на поверх­

ности океана z = 0. Вместо условия w =

0 возьмем следующее:

w = -----при z = 0.

(5.9)

gр 01

 

С целью согласования с разностной схемой соотношение (5.9)

приближенно аппроксимируем

 

 

 

wп

1

дР-«/2

(5.10)

gp

dt

 

 

К условию (5.10) присоединим условия на нижней границе слоя термоклина, которые получим следующим образом. Предположим, что рельеф дна в океане описывается функцией

z = —Y](x,y).

(5.11)

Дифференцируем это выражение полным образом по t, получим известное соотношение

w = - ( u i f r + v i!k)

при z = - ^

(5.12)

 

Рассмотрим теперь уравнение неразрывности

 

ди

I

дѵ

,

dw „

(5,13)

dx

'

ду

'

dz

 

и проинтегрируем это уравнение по z в пределах —т] ^ z ^ —hT. Тогда получим соотношение

—hrjt

 

J {K^ + ^ ~ ) d z + w ( - h T) - w { - r \ ) = Q.

(5.14)

-n

231

Будем считать, что ниже уровня z = —hT океан баротропен и, сле­ довательно, компоненты вектора скорости и и d не зависят от z. Обозначим их и (—hT) и ѵ (—hT) соответственно. При этом предпо­ ложении соотношение (5.14) переходит в следующее:

ди

+ w (—hT) — w (—т]) = 0. (5.15)

< Ч - * т > ( £ + ду ^fij1

Из этого соотношения, далее, исключим w (—rj) с помощью (5.12). Тогда приходим к условию

W

д (т)— fcy) и

H 4 - h T)v п

дх

(5.16)

при z = —hT.

ду

 

 

Учитывая согласование сеток, условия (5.16) представим в раз­

ностной форме

 

0(т] - h T)v_m+lh

 

d{n -hT)u_m+4i

 

(5.17)

дх

'

ду

 

Имея в виду в дальнейшем использовать для решения задачи

(5.2), (5.10), (5.17) метод расщепления, величину

 

d(r\~hT) и_т+Чг

д (1\~ h T) »_„+«/,

= —W

(5.18)

дх

ду

 

 

будем считать известной функцией координат и времени (беря ее на предыдущем временном шаге). Тогда условие (5.17) запишется весьма просто

w.m = W.

(5.19)

Теперь исключим из системы уравнений (5.2) величины wо и іѵ_т с помощью граничных соотношений (5.10) и (5.19). Тогда будем иметь: для к = — 1

ди_Чг

1

&Р-Чш

п

 

dt

Р

дх

и ,

 

 

 

 

 

 

 

ди

-

! ,

1

дР-Чг

- 0

 

/*

dt

Г І и - Ч г "Т

ду

и*

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

1

аР-Ч,

 

ди- Ч ,

,

до- Ч . _ gp

dt________ ]_ _

А

дх

'

ду

Дz _ 4a

 

 

 

Ц ^ + Tw.^o-,

(5.20)

232

для к = —2, —3, . . —т + 1

 

 

 

дикЧ/2

 

 

I

1

дрк+Чг _П

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

+

 

 

 

 

О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

диk+Чг

 

Іи■h+Ч 4 -

1

^fc+v,

_

0;

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

9y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pk+4,~Ph-'h

 

-oTt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Azfc

 

 

 

kf

 

 

 

 

 

 

 

 

дик+'/г 1

 

I

Щ+і — Щ _ q

 

 

 

 

 

 

ftr

 

1

öy

 

Azb

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

di

Tu?* = 0

 

 

 

 

 

(5.21)

И ДЛЯ к

=

— 7П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ди - т Ч Ч

w -m+1l г г

1 дР-т+Ч2 _

О,

 

 

 

 

 

dt

 

Р

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дѵ-т+Чг

 

Г 1и>-т+Чг " г

1

дР-Пи'І2

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

Р

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р-т+Чг~~ Р-т-Ч%= -оГ_„

 

 

 

 

 

 

 

 

öu m+'/г

Ая-(п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дѵ-т+Чг

, w-m+l — VP

=0,

 

 

 

 

 

дж

 

 

 

 

 

Az -пи-11г

 

 

 

 

 

 

 

 

dr_

•Ги7_т = 0.

 

 

 

 

(5.22)

 

 

 

 

 

<9£

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исключим из всех

систем

уравнений (5.20)—(5.22) величины

wk, Tk.

Тогда

приходим

к

следующим

системам разностных по z

задач: для

Л =

—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ Аp.І А ѵ ._ о ,

 

 

 

 

 

 

Öy-‘/2

- l U - 4 t -\-

1

dP-ya

 

0 ,

 

 

 

 

 

 

p

 

<>y

■

 

 

 

du_t

 

dv

 

 

 

 

 

1

\ dp_4

 

 

1

дР-г

—0;

dx

1

-Ч 2

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

Az_i

dt

dy

1 Az£Н-(“+^)

 

 

(5.23)

для к =

—2, —3, . .

—m +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

duh+4.

 

 

I

1

Öpfc+V. _ n

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

to*+,/. +

“r---- ö 7 ~ - 0’

 

 

 

 

 

 

дт>.k+'/г

!

7,.

I

V

^Ph4/t

_ А

 

 

 

 

 

 

-

-

^

Zu*+./, - г •=- —

 

 

 

 

 

 

233

Смотрите также файлы