Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Рассмотрим теперь неоднородную задачу

Схему расщепления для этой задачи представим в виде

Ф/ + п —фУ

Т+ -4іф/+ " = 0,

Такая схема расщепления аппроксимирует исходное неоднородное уравнение с точностью до величин первого порядка по т.

Устойчивость схемы докажем следующим образом. Умножим

Что касается последнего уравнения из (4.22), то его рассмотрим более подробно. После указанной процедуры имеем

(tp'+i, фМ) = (ф,+ п t ф'11) — х(Лпц)і+1, Ф,Ч1) + т(/', ф/+1).

Учитывая, что А п ^ 0, получим

(ф/+1, ф/+1) (,фУ+ п , ф,+1) ; Т (fi, ф/+1)-

Используя известное неравенство Коши — Буняковского, получаем

Сокращая на || ф/+11|, приходим к следующему неравенству:

Исключая решения с дробными индексами, будем иметь

Учитывая, что

ІІФ°!=Ы.

34

с помощью исключения промежуточных значений решения получим

где

I/ 1= max Iр ||.

/

Отсюда следует абсолютная устойчивость разностной схемы для любого момента времени из интервала

зависимости оператора А. В этом случае в цикле вычислений по схеме расщепления вместо А следует принять подходящую разное стную аппроксимацию этого оператора на каждом интервале tj =g: '5с t s::;: tj+1.

Рассмотрим далее эволюционную задачу с оператором А, зави­ сящим от времени и самого решения квазилинейной задачи,

Относительно оператора А (t, ф) предположим, что он неотри­ цателен, аддитивен

А а (t, ір ) ^ 0 и обладает достаточной гладкостью. Предположим далее, что решение ф также является достаточно гладкой функцией времени. Рассмотрим на интервале tj_1 ^ t sg tj+1 схему рас­ щепления

где

A I = A $ , tj),

Методами, изложенными выше для линейных операторов, зави­ сящих только от времени, несложно доказывается, что схема рас­ щепления (4.28) при условии (4.29) имеет второй порядок аппрокси­ мации по т и абсолютно устойчива. Аналогичным образом опре­ деляется метод расщепления для неоднородных квазилинейных уравнений. Этот факт открывает широкие возможности применения схем покомпонентного расщепления к решению нестационарных квазилинейных задач гидродинамики, метеорологии, океанологии и других важных областей.

2.5. ОБЩИЙ ПОДХОД К ПОКОМПОНЕНТНОМУ РАСЩЕПЛЕНИЮ

При решении многих задач математической физики возникает необходимость расщепления исходных дифференциальных, интег­ ральных или интегродифференциальных уравнений на более простые с последующей редукцией их к разностной форме на основе изло­ женных в настоящей главе алгоритмов. Этот вопрос тесно связан с проблемой слабой аппроксимации исходных уравнений уравне­ ниями более простой структуры, которые в конечном итоге приводят к схемам расщепления. Вопрос о слабой аппроксимации в связи со схемами расщепления был поставлен в работах А. А. Самарского,

Н. Н. Яненко и Г. В. Демидова, В. И. Лебедева и нашел развитие

висследованиях многих авторов. Этот вопрос и будет предметом нашего рассмотрения. Итак, пусть мы имеем некоторую задачу математической физики

36

При этом обозначено

Ранее было доказано, что если к каждому из уравнений при­ менить схему Кранка — Николсона, то приходим к системе разно­ стных уравнений второго порядка аппроксимации:

на внешнюю эквивалентность этих подходов во многих случаях оказывается целесообразным сначала разложить сложную задачу математической физики на более простые задачи, которые в даль­ нейшем удобно независимо друг от друга сводить к разностным задачам. Рассмотрим систему (5.3) и с учетом (5.7) расщепим ее на еще более элементарные

Нетрудно видеть, что система расщепленных уравнений (5.8) аппроксимирует исходную задачу (5.1) с точностью до величин второго порядка по т, если операторы А ар коммутативны. Доказа­ тельство такого утверждения основано на том, что с учетом (5.2)

37

и (5.7) можно изменить упорядочение компонентов расщепления, записав

со вторым порядком точности по т. Этот результат остается в силе и в том случае, когда А ар зависят от времени. В этом случае необхо­

торы Лір некоммутативны, то методом двуциклической процедуры, описанной в 1.4, приходим к разностной схеме второго порядка точности на каждом интервале t;-_ г ^ t sg tj +

Резюмируя изложенное, можно утверждать, что если эволюцион­ ную задачу вида (5.1) при условии А а ^ 0 свести к частным задачам эволюционного типа (5.3) и затем рассматривать их как набор новых эволюционных задач, то, если хотя бы одна из элементарных эво­ люционных задач редуцируется к разностным схемам первого по­ рядка точности, тогда и аппроксимация исходной задачи (5.1) будет первого порядка точности по т. Если же каждая из таких задач имеет аппроксимацию второго порядка, то в рамках двухциклической про­ цедуры по а и ß приходим к аппроксимации второго порядка по т. Заметим, что если операторы Аа$ некоммутативны, то без двуцикли­ ческой процедуры мы приходим к аппроксимации задачи (5.1) с пер­ вым порядком точности. В самом деле, рассмотрим случай некоммути­

38