Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 90

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

с условием биортонормировки

1. Я' = Ъ

(ш?, осу) =

О, я ' ^ я

и представим все векторы из (14.12) в виде рядов Фурье

d

Ctqtöq,

где

Я

(б£, tâq).

dq _

В результате приходим к уравнениям для коэффициентов Фурье

 

 

У I ^ у

 

 

V*

2т

иИ - 2 “

:У7

(14.14)

/2Т2

■Ѵ ? +1/а

1 +

<г

 

Для решения задачи (14.14) следует поставить граничное условие. Естественное условие при х = х0 и х = хт будет в случае присут­ ствия членов турбулентной вязкости

иі+Ѵг = 0.

Это условие на основе (14.9) эквивалентно требованию

V ztlr,+1/’ = о

или с учетом первого уравнения (14.10) равносильно условию

 

/ I Іх

і

 

2т

м) А-----Г)>

 

—Yltni+'/*

= 0,

(14.15)

 

/2т2 \ - W

которое в покомпонентном виде принимает форму

2Т

I

Іх

 

1 + ;I 1/

= о

7 7 4

^

р 1ѵ ^

 

 

при х — х0 и х = хт.

(14.16)

Таким образом, граничные условия на береговой поверхности найдены и мы имеем в результате задачу (14.14), (14.16), эквивалент­

ную соответствующей задаче для функции тока ф;+ /г, которая не­

сколько более громоздка для расчета. Получив р,+1/г с точностью до константы, которую можно положить равной нулю, компоненты

скорости и1*'1*, ѵ,+і/г находим с помощью (14.5), w’* — с помощью

(14.16), а ТІ+ Іг — с помощью последнего уравнения из (14.1). Таким образом, на данном этапе расщепления задача решается полностью.

284

Переходим ко второму этапу расщепления — решению задачи (14.3), (14.4). Не повторяя всех выкладок, остановимся только на наиболее важных соотношениях. Так, будем иметь

и'+1-

12т2 (иі+'/* + —■у'41/* —

ѴуРііл) •

ѴІТІ :

12T2. ( Ѵ + ‘ / 2 — 2l - Ui + 'h —

2 L y + p l+ ,

(14.17)

где

2срр у /+ у 2

Ѵі/ Т

 

/ 2

■6Г0, ft = l,

Гі

2Гі Azx Az,

 

//+7 , = .

 

 

П +Ѵ\

fc = 2, 3, . . TO-1.

Введем в рассмотрение функцию тока ф-?+1 по формулам:

 

 

 

>,/+1

—

1

v^-ihy+1

 

 

 

 

vk+'u—

2 Vztä+'/ü’

 

 

 

 

wife+1 =

Ѵхфі+ѵ,.

(14.18)

В результате приходим к уравнению

для давления

 

ѴР

2т

 

-------------і---------

+ Mpl+i = Fi+'f'

(14.19)

1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с условием

 

 

 

£,/+'/2---иі+'/г

 

 

 

2т

 

 

 

 

 

--- Т7+П/+1 -

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

у = у0, у = р„.

(14.20)

С помощью рядов

Фурье

получим:

 

 

 

2т

I _1

■,/+' / 2 _

J l

„/*«/.

 

 

ѴЯ

—

2

Я

 

 

V*

Х Ь1'

 

 

 

' Ы +1 = ^ +,/*

(14.21)

ггТ2

\ - ѵ

 

 

 

,Р

285

с условием

2т

VіУ' /! Zt

 

= 0

(14.22)

Z2T2

J v' «

 

при у = у0, у = у„.

Для того чтобы метод расщепления обладал достаточной аппрок­ симацией, необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие

(14.23)

7.15. Ф О РМ У Л И РО ВКА ЗА ДА ЧИ О П РО ГН О ЗЕ ПОГОДЫ

В О ТК Л О Н ЕН И Я Х ОТ КЛИМ АТА

Предположим, что климатическое состояние атмосферы в любой момент времени нам известно. Это значит, что нам известно решение задачи

- du

, —

- дФ

■арТ dz'

 

1 д V ди

— I , —

 

 

 

 

 

г)

dz’

т]

dz'

' у. А и,

 

р £ + *ри = - p -g L -Ь р Г

 

 

1

д

V

дѵ

ц Д*и,

 

 

 

г]

dz’

г]

dz'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

R T 2

dtp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°

r]

 

dz'

*

 

 

 

 

 

 

 

dr\pu

, dr\pv

,

dr\pw'

■о ,

 

 

 

 

 

 

dx’

dy'

 

 

dz'

 

 

 

 

 

- d T ,

,

, — ,

1

d

“vx

âT

1

-

 

+

(15.1)

Р d7 + (Ya-Y) pw

СрГ\

dz'

1]

dz'

‘

 

 

при условии

 

w' = 0

при

z = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15.2)

 

 

w '—0

при

z = l.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда для отклонений u', г/, w' , <р' и Т рассмотрим следующую задачу:

Р Щг — lPv> = - P ih P ~ - “P SW

 

1

ö

"

ö“' '-рДѴ,

dt

 

 

 

 

г]

dz'

г]

dz'

 

- dv'

~ 9 Ф '

u ~

, ,

, 1

-

д

V

öv'

,

p _ _ + Ipu’ = - p - %

r - bpgx\T'

T

 

-

- ü

pA V ,

 

gx\T' = ЯГ2

dg/

 

 

 

 

 

■ö?”

 

 

 

 

286

 

 

 

 

дцри' . дцрѵ'

 

I

дцрш'

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх'

'

ду'

 

 

 

dz'

 

 

 

 

 

 

 

Ср[р ^ f T ' + (ya~ у)рш']

1

 

д

1 L

д Т '

 

 

 

 

' Г + е ’, (15.3)

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

г) dz'

T)

dz'

 

 

 

 

 

 

 

 

da'

 

да'

. —да' ,

—да’ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

= H t + u i ^ + v W +

 

 

 

 

I

 

do,1 .

t

д (a-\~a') ,

 

f. d (a~\- a') •

 

,

d (a -f- a f)

-r w

dz

1

 

\ \ —

-’4-v'

 

VT—-~\-w

 

\

 

,— ' .

или

 

 

dx

1

 

 

 

dy

 

1

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

da'

da'

,

 

,,

da'

 

 

 

 

,,

da' .

f —

.

 

n da'

dt

dt

'r(u + u ) ^ r

+(v + v ) w

+ (w + w)-I7 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

f,

da

* f

da

 

 

,

da

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ U* ^ - r + v'

ду'

 

■w

dz'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх'

1 ^

 

1

 

 

 

 

 

 

К системе

 

(15.3)

присоединим граничные (по

z)

условия

 

 

 

 

 

w' — О

при

 

z' =

О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w‘ = О

при

 

z* =

1.

 

 

 

 

(15,4)

Уравнения адаптации:

Р Ч г + lPu' = - Р w ~ — ъ^ ц Т \

 

дф'

_

gp

J,,

 

 

 

 

dz'

 

д у г

’

 

 

 

ö rp u '

,

дг\рѵ'

j

ör)pw'

n

 

дх'

+

~ д у 7~

"+■ “ dz7“

 

— U’

 

9 ^ Г + ( У а — Y)pw' = 0

(15.5)

решаются при условии

 

 

 

 

 

 

 

 

w' = О

при

z* =

О,

 

и>* = 0

при

z* =

l.

(15.6)

 

 

 

 

 

7.16.

С Ф ЕРИ Ч ЕС К А Я

СИСТЕМА

 

 

 

 

 

 

 

КООРДИНАТ

До сих пор мы рассматривали принципиальные аспекты построе­ ния алгоритмов решения задач долгосрочного прогноза погоды. С этой целью была использована декартова система координат (х , У. z). Однако задачи долгосрочного прогноза погоды глобальны

287

по своему характеру и требуют рассмотрения в сферической системе координат. Эту систему запишем в виде:

Ч Г + div P“ u - (2ю cos fl + £

ctg О) pv = -

 

 

! £ - + Fu,

 

 

+ div püu + (2(0 cos Ф +

 

ctg O) pu = -

^ Ц - + Fv,

 

 

 

 

 

 

dy __

g

j ,

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

дуг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

div pu = 0,

 

 

 

 

 

 

4 f -

+ div РГ и + (Ye-

Y) P“>:

- +

* г ,

(16.1)

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где использованы следующие обозначения:

 

 

 

 

 

1

 

д

ч ,

1

<?

 

 

 

 

div (pu •) = — 2—s- -Цг—(pu •) •

 

â& ( pusinfl - )+ - ^ - ( pu». ) ,

 

'

a sin #

й

'

a sin #

 

d

— du

,

1

Г

1

â

(iin du \

 

 

 

 

dz ^P dz

^

at sin ■& . sin d

dX

\ P p

dX )

 

 

 

-

d — dv .

1

"

Г1

d ( — dv \

 

 

 

dz VP dz +

at sin #

[. sin d

âX (p p Ж )

 

 

 

Fr =

d ----- dT' .

1

 

Г 1

9

( -

dT'

 

 

 

 

dz ^ lP

dz

^

a2sin#

L sin ft

dX iPiP

dX

 

 

(16.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Относительно коэффициентов v (z) и Vj (z) сделаем те же пред­ положения, что и при рассмотрении более простых моделей, которые были изучены ранее. Что касается коэффициента горизонтального турбулентного обмена ц, то в соответствии с предложением Дж. Смагоринского его выберем пропорциональным модулю градиента ско­ рости и шагу сетки

p = p1 = cZ2£>,

(16.2')

где с — размерная константа, I = аАк sin ft,

Д = і/<Ѵ“)а+ М а.

Граничные условия и начальные данные аналогичны рассмот­ ренным для системы координат (х, у, z).

Расщепление системы уравнений динамики удобно проводить следующим образом. Сначала решается задача

+div puu = Fu,

^■ + divpi;u = F0,

—j f — 4- div pT’xi =

-f-fT,

(16.3)

288

Смотрите также файлы