к моменту времени t = О получаем начальное поле и0, ѵ°, Т°, не обходимое для дальнейшего совместного решения уравнений.
Переходя к формированию алгоритма решения задачи динамики океана при отклонениях температуры, мы исходим из системы раз ностных уравнений, которая была построена выше, и используем для ее решения метод рядов Фурье. В результате, как это было по казано ранее, задача сводится к решению системы уравнений для коэффициентов Фурье:
-- Ua - к . 1 + 14 .ѵ і р ' 1 - О,
т+ Іи<+1 -I- 4J ѴурНr/J n t+1 = 0 .
V*u/q+1 + |
-/+1 |
= * -± 1 1 |
(13.4) |
Ѵ~УѴ± -----f P f 1 |
= |
?r |
|
Решение этой задачи производится итерационными методами, по дробно изученными в книге автора «Методы вычислительной мате матики».
Для того чтобы задачу (13.4) поставить окончательно, необходимо обсудить вопрос о граничных условиях. Поскольку мы предполо жили, что на первом этапе расщепления учитывается горизонтальная турбулентная вязкость, то для задач
и'^'1г — и! |
ц |
- ( + |
І+Ч*\ |
|
------------= ± У к Ы и ' |
), |
|
и'+1—иі+Чг = |
4 |
- |
у (гy t u ‘ *’ u ), |
(13.5) |
и |
|
|
|
|
|
ѵі + ' І 2 ~ V1 |
4 |
- |
Vh( s ± v r ' ' !‘), |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
. А X |
4 |
- |
у г{ y t v l : ‘ h |
(13.6) |
|
|
p |
|
|
|
|
ставятся условия «прилипания» |
|
|
|
|
к = 0, |
г; —0 |
на |
|
(13.7) |
где S — береговая цилиндрическая поверхность. Нетрудно убе диться, что этих условий достаточно, чтобы получить единственное решение. С этой целью необходимо лишь задачу свести к определе нию р*+1 во всех внутренних точках области определения решения.
Для этого первые два уравнения (13.4) разрешим относительно и,І+1, ѵі +1. Тогда получим
ич г = |
r +Wa |
[u9 + hvl9 - f - № р *я+1 + h ѵ У +1)] * |
|
v'q+1= |
'i + W |
• [ 4 — Іхи'ч —- f (УуРІ+1 - lr У * # 1)] • |
(13‘8) |
Далее, полученные выражения (13.8) подставим в последнее из урав
нений |
(13.4). |
Тогда |
будем иметь |
|
|
|
1 |
/ |
Т |
X |
|
Іх^ |
. |
J |
(у* ' 1+ |
Тата" ^ У +1 + Vy 1+ W - 'tipiq1+ V,- |
Т"И 2^ - Ѵ?Р(,+1 - |
|
|
|
- У~у 1 |
- vip(+,/2) - 4 |
= |
~ F*' |
(13-9) |
Решение системы алгебраических уравнений (13.9) производится |
различными |
итерационными методами. |
|
|
|
|
|
|
|
7.14 . |
М ОДЕЛЬ Д И Н А М И К И Д Ж ЕА Н А |
|
|
|
|
|
С |
Ф У Н К Ц И Я М И ТОКА |
Рассмотрим систему уравнений (13.1) и будем решение этой системы искать с помощью метода расщепления. На первом шаге:
ц/'+’/г |
ц— |
/,,/+*/2 |
А |
. 1( |
- т |
" |
+ 4 |
ѵѴ +/2 = О, |
' |
|
Ü |
|
|
иІ + Ч г _ ѵІ |
і и І+' h |
-О, |
|
|
|
|
|
Т І + ' І г _ Т і |
|
Г / + 1 / |
С р |-------;--------Ь— W1 /!І = |
'Рг V |
Т |
|
|
1 2 |
v ft+V . |
^<Г/Ч-Ѵ. |
|
т О + 'М |
v ft-V |
A Z |
V* Я+ 1 |
* я |
/ |
А . |
ÄZA+V* |
|
|
|
|
AZA-V2 |
|
r7-,./+1/2 |
^ |
r^-..,/+1/2_ Г) |
|
p/+,/,= 4 v * y +,/’ |
|
u;J+'/2 = |
0, |
|
wfc'l‘ = 0, |
|
TP'l* = j ö T 0, |
|
Tj£4 *= 0; |
Н апомним, что здесь ось z н аправлена внпз.
на втором шаге: |
|
I |
|
|
|
|
рѴі _ц/+'/. |
ѵ1+ = О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ у и/+1 -г у |
УуР'+1 = О, |
|
- ( T i + i _ T h - ' h |
, |
Г ц ; / + 1 , |
|
|
СрР I |
т |
1 2 |
|
|
|
^ Ä + V s |
+ M |
^ k - 1/V ss |
(rri+г г і +XХ |
rpj+ггІ X1 \ |
2 Дг* AZh+4: |
|
|
Az ----- |
V7 fe ~ |
1 к-і) |
|
|
azh-4. |
|
|
VyV'rl + t VzW,t1= |
|
|
с условиями |
^ = 4 v * v +i |
|
(14.3) |
|
|
|
|
|
|
wn+1 = 0, |
u;/+i = |
0, |
|
|
T/rl — __ RT |
r/fl — O |
|
(14.4) |
•*о |
— 2 V1 |
1 m |
' |
|
Рассмотрим более подробно задачу (14.1)—(14.2). Из первых |
двух уравнений (14.1) выразим и'*',г и |
г/+ !> через |
р ,+і/\ Будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
иі+'І! = ----7щ - ( иі + Ц ~ ѴІ — = Sltpi+'u), |
|
1-u |
* т . |
z |
P |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
v ’ "4 -’ = - - - -7і т г (» ' - |
-uyl -+ |
2p |
v J p /+ ,/ *)- |
i + 2_L_ |
^ |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Далее, из уравнения притока тепла исключим 7’ с помощью урав
нения статики. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wK't' + \ R |
kp i 'h = ± fi, |
|
|
|
|
(14.0) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я П— 2срР |
|
Рг/*~Р,І* |
|
т |
|
|
**/. |
/ |
РЧг- P ’U |
|
^ |
стГі |
|
Azx |
оГі Azx |
|
Azjj^ |
у |
|
Azg |
|
|
|
РЧш-РЧш |
|
v‘/s |
f |
Р4 . - Р 4 , |
) ] |
|
|
Я p _ |
|
|
Azi |
|
* |
\ |
Г |
Az‘/s |
/ |
Л |
4’ |
4 |
2cpP ph+'U~pk-'h |
|
|
|
|
|
■ AZ'U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oTkAzk |
|
VfefVs |
|
|
рк+ г ~ рк+ г |
kP |
aYk |
|
&zk |
[ A z ^ , ^ |
|
у |
|
Az*+1 |
|
Pkr |
- P k - 4 |
г |
Vft-'/s |
/ |
Pfe+Vs |
|
Pft-V,__ рк-4 г~ ph-41 |
|
Azfe |
|
Azfe_1/s |
\ |
Az* |
|
|
|
|
Az*.! |
|
|
D |
„ |
2cpP |
Рт~Ч, — Рт-*/г |
|
or«.! AZfft-i |
|
Ѵ- .-а/ г [ P m - 4 t~ Рт-Чг |
|
m- ip ~ |
аГ„ |
AZm- |
|
|
|
|
'm -v. |
Azm- i |
|
|
|
|
Lm-1 |
■m-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Az |
|
|
|
|
|
|
|
Рт-Чг ' Pr, |
4 |
|
|
Ѵт -Чг ( Р т - Ч г ~ Р т - Ч , |
|
(14.7) |
|
|
|
|
AZffl_o |
|
|
|
Azm_iy4\, |
|
АZm_x |
|
|
|
|
|
|
j[ = |
|
2c„p |
|
|
V‘/.T |
■871 |
|
|
|
|
|
|
- r £ - n |
1 |
‘ Г і Azx Az, |
|
0 > |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = ^ - T L |
|
|
k = 2, 3, . . |
|
m — \. |
|
(14.8) |
|
|
Введем в |
рассмотрение |
«функцию» |
тока |
формулами |
|
|
|
|
|
|
|
/г |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"2" Ѵг'фй+Ѵ«’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■J't-Va |
,1J +Чг |
|
|
|
|
(14.9) |
|
|
|
|
|
|
wk |
|
|
— ѴѴфЛ+Ѵі- |
|
|
|
|
|
Далее, рассмотрим первое уравнение из (14.5) и (14.6). С учетом |
|
(14.9) |
приходим к системе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Ѵ7ф,ѵ ' гН----- 4 |
|
ѴІР/+1■' |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
14- |
г»т2 |
|
|
|
|
|
|
Ѵ*Ф/+,/2 + 4 RkPI+'lt = |
^rP- |
|
(14.10) |
|
Из |
системы (14.10) исключим |
г|з,+І/*, тогда |
получим уравнение |
|
V* |
_2т |
( , |
|
и'+Ц-ѵ3 |
• |
ѵ7ЯкрІ+'і* = yj/'. |
(14.11) |
|
, /2Т2 |
UrViP/+,/*--------- Г ---- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение перепишем в векторно-матричной форме, введя в рас смотрение векторы р,+ /а, и', и1 я F1 с компонентами p i t \ :, и[+і/г, Ѵк+Чг и Як+ч, соответственно. Тогда будем иметь уравнение
|
|
i t |
/т |
|
2т |
м' + — ѵ |
|
-=• v ^ /fl/- |
-Mpi+'l* = Fi. (14.12) |
|
Ѵ7 |
|
1 + - І і |
ѴР |
|
Введем в рассмотрение две сопряженных спектральных задачи:
Afft) = —Л-со,
