Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где

ф/+1/ ‘ = 1 (ф /+1 + ф /).

Уравнение

 

неразрывности

(11.3)

 

позволяет

тока

 

 

 

 

 

дЧ

 

F/+1 = дЧ

 

 

 

 

Uhl =

 

’

•

 

 

 

 

 

 

ду'

 

дх'

Подставляя (11.14)

в (11.13), получим

 

 

 

дЧ

,

т

 

f дФ і+1/2

. Іх дФі+І/і

 

ду'

 

142

 

дх'

 

ду'

 

 

 

 

н

— 4

 

 

 

 

 

 

дЧ

1

 

т

/

дфІ+Чг

Іх

д Ф і+1/2 )

дх'

h

 

CJ

\

ду'

2

д х '

/

где

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<5.

 

 

 

 

 

ѵ =

~

 

--------I

~j"~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< + ‘Г

 

 

 

 

 

 

F { =

-

 

1

[ у 1

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

+

т

 

 

 

 

 

 

ввести функцию

(11.14)

р/

р’ (11.15)

(11.16)

Далее, умножим первое уравнение системы (11.15) на іт и сложим

со вторым. Тогда получим

дЧ

lx

dW

,

<Эф'+ ,/*

'

V '

lx

V

(11.17)

дх'

2

ду'

 

• т - ду'

2

Умножим второе уравнение на

у )

и сложим с первым. Будем

иметь

 

 

 

дф)+'12

 

 

 

 

 

дЧ

ІХ

дЧ

--Р----Y

F1.

(11.18)

 

ду'

2

дх'

дх'

 

 

 

 

 

Уравнение (11.17)

продифференцируем по я',

а

(11.18)

— по у'

ч результаты сложим. Тогда приходим к уравнению для функции тока

АТ-

где

X

/

ді

дУ

ді

дЧ \

2

\

ду'

дх'

дх'

д у ’ )

g, (11.19)

F i).

(11.20)

После того как задача (11.19), (11.20) решена и найдена интеграль­ ная функция тока, величины Ui +1 и F/+1 находятся с помощью

соотношений (11.14), а функция Ф;+ !г находится с помощью ин­ тегрирования уравнений (11.17) или (11.18).

18*

275

Поскольку функция Ф;+‘ 2 определяется с точностью до про­ извольной константы, то в точке х = х 0, у = у 0 выберем ее равной нулю. Тогда с помощью интегрирования уравнения (11.17) по у найдем

Ф'Ѵ' - К , ! / ) = - ( - / [

(

5

- у

у

) +

' ' +

т ' ' ] »

<И -21>

Уо

 

 

 

 

 

 

 

 

После того как величина Ф,+1/г (а;0,

у)

найдена,

с помощью

инте­

грирования уравнения (11.18)

получим

 

 

 

 

ф/4-1/* ( х , у ) = Ф І+Ч*(Х0, р ) +

 

л;

Г dW

 

дЧ

(Г-Ч-г') dx.

4

J

 

[ ду'

 

2

dx'

 

 

 

 

 

 

 

 

( 11.22)

Итак, характеристики баротропного движения в атмосфере £П+1,

У/+1 и ф,+'Іг найдены. Далее эти величины используются в (11.4). Уравнения (11.7) решаются тривиально, поскольку они явно разрешены относительно неизвестных. Что касается задач (11.8)— (11.9) и (11.10)—(11.11), то они с точностью до обозначений совпадают

с задачами (10.3) и (10.4).

Решение этих задач там было выражено через специальным об­

%разом определенные функции тока. Заметим, что при решении урав­ нений для функции тока каждый раз используются своеобразные

итерационные процессы, эффективно реализуемые на ЭВМ.

7

.12.

ПОСТРОЕНИЕ Ч И С Л Е Н Н Ы Х СХЕМ

Д И Н А М

И КИ

О КЕА НА С УЧЕТОМ ОРОГРАФ ИИ

Переходим к построению системы уравнений динамики океана в отклонениях, приспособленной для расчета течений и поля тепла при учете орографии дна. Рассмотрим задачу

du

— lv

1

dp

d

du

 

p Au,

I t

 

p

dx

dz

dz

 

 

dv

lu ■

1

dp

d

— dv

{

LI Au,

dt

 

 

----

V ----

 

 

 

dz

dz

 

 

 

 

âp_

-oT’

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

cpP ( ч г + Tw) = ТГ V1 4 r

+ ^ A r ’

где p = const, a =

a T , g

=

const,

Г =

Г (х,

у , z) — климатическое

значение производной от температуры (плотности). Ось z направлена от поверхности ко дну. Орографию дна опишем уравнением

z — h(x, у).

276

Введем в рассмотрение новые независимые переменные:

х’ = х,

У‘ = У,

Принимая во внимание преобразования, которые были сделаны при рассмотрении уравнений динамики атмосферы, приходим к системе уравнений (12.1), записанной в новых координатах:

 

du

l v - ,

1

dp

] „ 9P _

1

 

d

V

Öl t

 

 

 

 

pp

dz'

 

+ **

 

 

d t

L l

 

P

d x '

^

 

dz'

 

11 d z '

P

 

дѵ л_ l u 4 - 1

dp ,

h dp -

 

1

 

d

V

d y

 

 

d t

1 l U +

P

dy'

1

b

d z'

~

 

pp

d z '

p

dz'

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оТ' —

1

dp

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

dz'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дци

 

 

дцѵ

 

дУР'

_ n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх'

 

'

ді/

 

 

dz'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

d

Vj

т іг

 

 

( 12.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т)

dz'

Т)

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h (

x ,

у

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

—

—

 

h (1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

1? системе

(12.2)

присоединим граничные условия

 

 

 

 

 

 

 

w' = 0

при

z' — О,

 

 

 

 

 

 

 

 

w '—0 при

 

z '= 1.

 

 

(12.3)

Задача

(12.2)—(12.3)

решается

методом

расщепления:

сначала

на интервале

tj

==g

t ^

tj + х

решается

нестационарная задача диф­

фузии и переноса субстанций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

â

V

 

du

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p p

dz'

p

 

dz'

1

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

â

V

dv

1

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz'

p

dz'

 

^А 'ѵ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p p

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

d T

'

 

т| d z'

Т]

dz -

+ h ^ r .

 

(12.4)

 

 

 

С Р Р

d t

 

 

 

277

Эти уравнения решаются при соответствующих краевых значениях на береговых поверхностях. Считая градиенты от функции h (х , у) малыми, приближенно положим на дне

ц>' = 0, н = 0, v = 0, ~ ~ z = 0 при z' = 0

(12.5)

и на свободной поверхности

(12.5)'

В (12.5)' индексами А отмечены величины, относящиеся к атмо­ сфере и S — к океану; F — поток излучения. Здесь также учтено, что в атмосфере ось координат z' направлена сверху вниз, а в оке­

ане — снизу вверх (противоположно оси

z).

 

После того как задача (12.4), (12.5), (12.5)' решена, используем

решение при t — tj +1 в качестве начального (при t =

tj) для задачи

адаптации

 

 

 

 

 

ди

.

1

dp

 

 

—-----ІѴ-

ö

dx'

 

 

öt

 

 

 

- ^ + Zu-

p

 

 

 

Öt

•

 

 

 

 

oT'

1

dp

 

 

 

T)

dz' ’

 

 

 

 

 

 

dx\u

дх\и , d y\w'

0,

 

dx'

dy'

^

dz'

 

 

 

 

 

Tw' = 0

 

( 12.6)

при условии

 

при

z '= 0,

 

w' = 0

 

w’ = 0

при

z' =

1.

(12.7)

В случае необходимости второе условие в (12.7) может быть уточ­ нено. В результате получим

w' —0

при z' = 0,

 

uf = J L lP -

при z' = 1.

(12.8)

gp 01

 

 

Что касается разностных аппроксимаций уравнений динамики атмосферы и океана с учетом орографии, то техника построения раз­ ностных схем в этом случае не отличается от рассмотренной ранее без учета орографии и переносится автоматически.

278

§ 7.13. П РОСТЕЙ Ш И Е М ОДЕЛИ ГИ ДРО ДИ Н А М И ЧЕСКО ГО ДОЛГОСРОЧНОГО П РОГНО ЗА ПОГОДЫ

Мы будем исходить из гипотезы, что долгосрочные аномалии температуры и осадков над континентами формируются прежде всего под действием термического состояния Мирового океана. Это значит, что наиболее важным компонентом долгосрочного про­ гноза является расчет аномалий температурного поля в океане.

Поскольку теплоемкость океана значительно больше теплоемко­ сти атмосферы, то океан выступает как консервативная среда, мед­ ленно выделяющая в атмосферу тепло за счет теплопроводности, накопленное океаном за счет поглощения солнечной радиации.

Будем предполагать, что падающая на поверхность океана сол­ нечная радиация почти полностью (с точностью до альбедо) погло­ щается, находясь в состоянии локального термодинамического рав­ новесия. Это предположение позволяет найти температуру поверх­ ностного слоя воды, точнее, ее отклонение от климатического зна­ чения, которое предполагается известным.

На основе анализа радиационного поля в облачной и безоблач­ ной атмосфере (см. п. 7.1) можно получить формулу

бТп

пЦ-т t(fr —

а ) ^

о

4 ~ х ^

о° ] дясногод

неба,

З о Г »

п_^т■[(а — b) Е0-j- XiSoo] Для облачного неба.

 

Таким образом, для

океана получаем следующую задачу:

 

 

 

ди

 

 

 

дР

= 0,

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

дѵ + lu + '± % - = 0,

 

 

 

 

Öt

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

%-==oT\

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

’

 

 

 

 

 

 

du

 

dv

dw _~

 

 

 

 

 

O x ' d y '

d z

 

’

 

 

cpP ( 4 ^ r ]- Tw) =

 

 

 

+

(13Л)

Система уравнений

 

(13.1)

решается

при

условии

 

 

w = 0,

Г* = бТ0

при

z = 0,

 

 

 

w = 0,

Т' = 0

при

z — h.

(13.2)

Решая задачу (13.1)—(13.2)

при

начальных данных

 

 

и =

0,

у = 0,

Т '= 0

при

t = —t0,

(13.3)

Смотрите также файлы