Файл: Контактное взаимодействие металла и инструмента при прокатке..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Математически задачу запишем в виде систем дифференциальных уравнений:

дТп (х . т ) ____д2*81Тп (х, т) .

 

дт

~

“ п

дх2

(38)

дТв (х. г) _

 

д2Та (х,т)

 

 

дх

~

а

дх2

 

которое решают при следующих начальных и граничных условиях:

Тп (х, 0) = Т0;

(39)

Тв (х, 0) =

0;

(40)

Тп(-о о , т) =

Г 0;

(41)

 

 

ТD(+ оо, т) = 0;

 

 

(42)

X

дТп(0.

т)

1

дТа(0, т) .

 

 

(43)

 

п

дх

 

%а

дх

 

 

 

К дТп-§ — =

к [Тп(0,

г) - Тв(0,

т)],

 

(44)

где А,п и А.в — коэффициенты

теплопроводности

полосы и валков;

К — коэффициент теплопередачи от полосы

к валку

через

пленку

окалины

или

технологической

смазки.

где Хс

В соответствии с

выводами

Г.

П.

Иванцова

К =

XJSс,

и Sc — коэффициент теплопроводности слоя и его толщина. В связи с симметричностью очага деформации решение проводим для поло­

вины толщины полосы и одного валка.

Начало координат распола­

гается на границе валок—полоса и движется

совместно с полосой

и валками

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эту задачу решают при помощи интегрального преобразования

Лапласа. Решения получаются в виде:

— ехр

■

^ 1 ( 1 + * в )

+

Тп(х, 'х) = Т0

То

erfc

1*1

 

 

 

1

 

 

2 V апх

 

 

 

 

+ Н (ГЕ-(1+ К е)2

erfc

^

K

| i

+ s« ) +

J i L

(45)

 

 

 

 

 

Ап

 

 

 

2 К апт

 

Та(х,

х) = Т0

Ке

(erfc

2 Vавт

ехр

Т^(1 + ^ е ) +

 

 

 

1+Яе

1

 

 

Лв

 

+

К2апт (1 + ^ в )2

erfc

 

Лп

 

+М е)гЬ

(46)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

erfc х

 

I I е

X" dx ’

 

 

 

1 Лагранжева система координат.

{Прим.

ре$.)

 

 

 

8 П. и. Полухин

113

Ке — 1/ ^'п'Уп5п — критерий, характеризующий тепловую ак-

гAbYb^ b

тивность материала полосы относительно ма-

териала

валка

( С и у — теплоемкость и

плотность).

 

 

Выражение - -^ -°пТ (1+/Се)

можно

записать,

используя кри-

Ап

 

 

 

терии Био и Фурье:

 

 

 

* -~ пТ (1 + Кг) =

Bi V F on(1 + Кг) =

Я,

Лп

 

 

 

где Я — произведение критериальных величин, также являющееся критерием.

Представим полученные выражения в безразмерном виде:

 

 

тп (*. т)

 

 

1

 

erfc

1

 

 

■ &„(*, т) =

Т0~

 

 

1 + * е

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— exp

н

+ Я 2

erfc

 

ЯН-----

 

=

 

h(H,

Fon, КгУ,

(47)

r__

\

 

 

 

V Fon ^

j

^

2 У Fon

 

 

 

 

 

 

(*,

T) =

*n

 

 

Кг

erfc

 

 

 

 

 

 

1+ K E

2]K FoB

 

 

■exp /

JL= + Я 2) erfc (н H ----- ^L=-

=

 

М Я ,

FoB, KE).

(48)

 

 

!

\

2

v FoB

 

 

 

 

 

 

Выражения для определения температуры поверхностей полосы и валков в безразмерном виде запишем следующим образом:

# „(*, х) =

Щ ^ - = 1

 

1+

1

(1 — ехр Я 2 erfc Я) =

1 —

 

Тп

 

КЕ

 

 

 

 

 

 

1

 

(Я);

 

 

(49)

 

 

1+

к,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*в(0, ч) = Щ

^ = т^ {

1 -

ы

? Н‘ иЬ Н ) =

т^ Р 1(Н). (50)

Количество тепла, отданного полосой одному валку в очаге

деформации за

единицу времени, составляет

 

 

 

 

 

 

тк

 

 

 

 

 

 

Qi =

иъВ J q (0,

т) dx,

 

 

 

где тк

время контакта

точки полосы с валком;

 

/д — длина дуги контакта

с учетом упругой

 

 

деформации валков и полосы;

 

В — ширина полосы;

 

 

 

 

vB— окружная скорость валка;

 

<7(0, х) —

дТ"зх’ ^ ---- тепловой

поток

от

полосы

к валку.

114

После интегрирования и преобразования этого выражения по­

лучаем:

 

 

Qi—К~опВТ0тк

2_

%„

V ЯKVa^il + Kt)

Яп

' 1 — exp

К2апхк (1 +

tfe)2 \

X erfc К К0пТк(1 +/<е)

Лп

( 1 + я е)г X

> 1

= vbBKT0тк ^ у = - Я — 1 + ехр Я 2 erfc Я) = BlAK.T0F2(Я). (51)

Графики функций (Я) и Га (Я) приведены на рис. 78. Применение полученных формул ограничивается случаями, при

которых прокатываемую полосу можно рассматривать как полу-

20 50

100

150

200

250

500

550 ^Н'

ограниченное тело, т. е. когда «холодящее» влияние валков не рас­ пространяется за время контакта до середины полосы. Если пре­ небречь изменениями температуры материала в середине полосы,

равным 1 % от изменения температуры

на поверхности

полосы,

и принять, что Fon при Я, равном 0— 15,

изменяется от 0,1 до 0,082,

то условие применимости уравнений (45)—(51) запишем в виде

< 0 ,0 1 (1 — ехр Я 2 erfc Я).

(52)

Практически во всех случаях горячей прокатки и в большинстве случаев холодной прокатки стальных листов неравенство (52) удов­ летворяется. При холодной прокатке тонких стальных полос с ма­ лой скоростью и прокатке цветных металлов это неравенство может

8*

115

не соблюдаться. В этих случаях системы дифференциальных урав­ нений (38) нужно решать при следующих граничных условиях:

 

дТ (0.

т)

^

 

 

(53)

 

дх

 

~

’

 

 

 

 

 

 

 

 

Тв(оо, т) =

0;

 

 

(54)

 

т)

 

\

дТв

(4 - )

 

 

п —

J _

 

 

(55)

дх

— ЛВ

 

дх-

 

( h

Л

 

 

У - Т . ( А ,

т )]

(56)

ОХ------ = К , у , (У-’

Начало координат расположено на оси полосы1.

 

 

Эту задачу решают конечно-разностным методом.

Дополнительно

принимаем толщину

полосы h =

-°

, т. е. пренебрегаем изме­

нением толщины полосы в очаге деформации21. Решение возможно и с учетом изменения толщины полосы, но незначительное повыше­ ние точности расчета не компенсирует его усложнения, так как шаг сетки по времени является переменным. Построение сетки (рис. 79)

Рнс. 79. Построение сеткн для решения системы уравнений (38) конечно-раз­ ностным методом

производят таким образом, чтобы ее граничные участки для полосы I и валка II были в два раза меньше основного шага. Граничные участки дополняют вспомогательными линиями, отстоящими от дей­ ствительных границ полосы и валка на половину шага. Если шаг сетки по расстоянию /г и времени I для одновременного теплового

1 Эйлерова система координат. (Прим, ред.)

2 Рассматривается случай распределения температуры в одномерном простран­ стве. (Прим, ред-)

116

потока связаны зависимостью I — кг12а, то решение уравнения Фурье в конечно-разностной форме имеет вид [105]:

ОА+1, I —

i-i Н~ ®k, i+i

(57)

2

где i — значение температуры в узле сетки.

Шаг сетки для валка hB=

hn у

— ; это обеспечивает равенство

шага по времени для полосы

Г

Ап

и валка.

Начальные условия моделируют простановкой Т 0 и нуля в пер­ вом ряду сетки полосы и валка. Граничное условие (53), отражаю­ щее отсутствие теплового потока через середину полосы, выполняется

при повторении

на линии

t = 0

значения температуры на

линии

i = l .

Условие

(54) получается

устранением ограничения

сетки

валка с одной стороны.

Граничные условия

(55) и (56) удовлетво­

ряются, если значения

температуры в остальных

вспомогательных

узлах

сетки принимают равными:

 

 

Khn

 

 

 

^к, п+1 — ['- fy - '"

®к, п '

®к,

 

 

Лп

(58)

 

 

 

 

1+^<Г■КЁ

 

 

 

 

тЭ1

[ 1+

(1 ~

**)]

^ т +

т ! г К г п

(59)

 

к, т - 1 '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l +

^ t

{ l + K s )

 

 

 

Количество тепла, отданного полосой валку, определяют из

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qi =

CnynWn(T0- T n),

 

 

(60)

где Wn— объем

полосы, прокатанной за единицу времени;

 

Тп— средняя температура полосы при выходе из очага дефор­

мации.

Расчеты, выполненные по этой методике, свидетельствуют о том,

что температура поверхности валка сначала повышается

так же,

как и при контакте с полуограниченным телом (толстой

полосой),

а затем несколько медленнее. Температура поверхности валка при контакте с полуограниченным телом стремится к пределу Т0 . ,

а при контакте с тонкой полосой — достигает максимума и затем снижается вследствие того, что отвод тепла в тело валка становится более интенсивным, чем от полосы. В случаях, практически важных для холодной прокатки тонких стальных полос, уменьшение темпе­ ратуры поверхности валка. относительно температуры, подсчитан­ ной для толстой полосы, не превышает 15% от максимального из­ менения температуры. С уменьшением времени контакта эта разница снижается. Поэтому для анализа тепловых процессов при изменениях условий прокатки можно использовать уравнения (45)—(51), если не требуются более точные решения.

117

Для учета распределения тепла работы формоизменения полосы при прокатке Аф дополнительно к упрощениям, введенным выше,

примем,, что интенсивность

источника тепла . w =

■ постоянна

на всем протяжении очага

деформации.

Ч'пТц

 

Решим задачу для условий, при которых холодящее влияние

валков

не достигает середины полосы. Решение задачи запишем

в виде

системы дифференциальных уравнений:

дТп (х, т)

д-Т (х, т)

|

w

оо ^

tC

дт

~~ ° п дх2

+

спу„ ’

 

 

дТя(х, т ) ____д2Т(х, т) . п дт ~ в дх2

которую решают при начальных и граничных условиях:

Тп (х, 0)

=

Тв (X,

0) =

0;

 

дТ„ (—оо, т)

 

Пш

 

 

 

дх

 

~

’

 

 

Тв (+ оо, т) =

0;

 

,

дТ„ (0.

т)

,

дТв (0,

т) .

п

дх

 

в

 

дх

 

К дТл{дх У) =

К 1Т„(0,

т )- Т „(0 ,т )], ■

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

Уравнения для определения температуры полосы и валков решают при помощи интегрального преобразования Лапласа:

Тп (х, т)

\Ут

1 —

Кгапт(1 +

Д8)3

erfc

 

 

 

спУп

 

2У Опт

 

— ехр

' К (х)

( 1 + ^ Е) +

^ ( Н - / С е)2

X

 

^

 

 

Ап

 

 

 

*■„

 

 

 

 

X erfc

 

КУ а„т

( 1 + * в )

 

 

 

 

ЯП

 

 

 

2 У апт

 

— 2

Ап

+

^ Е) i erfc

J

/

L

_ 2 -

^ x

 

 

 

 

2

У апт

 

%п

 

 

X (1 +

Ке) г2 erfc

 

 

 

 

(67)

2 У апт

Смотрите также файлы