Файл: Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 165

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

69

17.290. В аппаратурный отсек космической ракеты за время ее

полота попадает^

%

элементарных частиц

с вероятностью

Р а (А ) — £

1г г

.Условная вероятность для каждой из

 

‘U

 

р

.Найти

них попасть при этом в уязвимый блок,равна

вероятность попадания в блок: а) ровно К

 

частиц;

б) хотя бы одной частицы.

 

 

§ 18. Дискретная случайная величина.Функция распределения.

Чиоловне характеристики случайной величины.

Вероятность случайного события,состоящего в выполнении

неравенства

% < Х

называется функцией распределения

случайной величины

К

и обозначается

F { x ) .По опреде­

лению

 

 

F{«) =■ р (Х< х}

■

•

 

 

 

 

 

Пусть

случайная'величина

X

задана таблицей

 

 

Ж

 

X,

X,

Х3 ...

Хп

 

 

 

р

 

Г,

Ра Pi

...

Ь

 

 

Можно считать,что

X . <

3

Х _ <

• • •

< X _

 

 

 

 

 

• *

$

 

1»

 

Составим график функций распределения

 

 

® - о о

<X

< X,

 

 

Ffx) * О

 

х*

<X

<

х #

 

F f х)

= 'Pt

с

X,

<х

<

х ,

 

FCK) = Р,+Рг

 

 

 

 

 

 

r w _ “ P , + P ^ P S

 

Х,н < X S

Хп

 

Ffx) - Р,грД“ 5|~“

X п < X < + ОО. •

F ( * ) ~

70

т \

•

 

 

 

 

i

,

 

 

 

 

 

 

 

•

 

 

 

 

 

 

г ~ -

* г

!

!

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

1

{

 

 

, -

М

1

i

1

 

 

1

i

]

 

 

 

 

 

 

 

i

1

1

1

 

М

1

f

i

л

 

' I

1

 

X,

х а л 3

*4 • • •

Хм х,-

X

Рис. 5

Функция распределения дискретной случайной величины есть ступенчатая.функция,которая имеет скачки в точках,отвечающих возможным значениям случайной величины,Величина каждого скач­ ка равна вероятности соответствующего значения случайной ве-

лгЛинк,Сумма скачков равна единице.

Функция распределения. есть неубывающая функция,непрерыв­ ная слева ,т.е. Г = F (к) ,и удовлетворяющая условиям

Г (-С*») — 0 | Г ( + С*э) = I

Математическим ожиданием случайной величины- X

называется

ее среднее значение.Оно обозначается •

 

М (X)И Л И Ш или X . .

Для дискретной случайной величины,которая^принимает ко­

нечное число значений,математическое ожидание вычисляется по формуле

Если случайная величина

X

принимает бесконечную сово­

купность значений,то

 

 

/71

оо

M ( X ) = Z * » p »

Математическое ожидание обладает следум’нши свойствами. I . Математическое ожидание неслучайной ве-ячина рЩщо

этой величине.

М £ С ) - С

2. Математи^зск- е ожидание суммы двух или нескольких слу­ чайных величин равно суш е математических ожиданий этих ве-

шчии

М ( Х + У ) = М ( Х ) + М ( Ш

3« Математическое ожидание произведения независимых слу­ чайных величин равно произведении математических ожиданий .

этдх величин.

М

fX-У) = М

(X) •м

,

если X , У

- независимы,-

 

0

 

Центрированной

случайной величиной

X

называется

разность между случайной величиной X

и

ее математи­

ческим оиданием:

„

= X ~ гпх

 

 

 

X

 

 

Математическое ожидание центрированной случайной величи­

ны равно нулю: м ; х ) - о .

 

 

 

 

Дисперсией случайной величин»

X

называется матема­

тическое ожидание квадрата

соответствующей центрированной

сот"чайной величины.

«•

ф

 

 

 

Д(х)и т а 'Д х

 

 

Дисперсия обозначьзтся

«По определению

д ( х )

= м

[ х ‘

 

 

 

о

72

Вычисляется дйсперсия дискретной случайной величины по фор­

мулам п г

-д о ч - г с

U i

(дач случайной величины,принимающей конечное число значений)

Д ( Х ) = 5 ( х „ - т ()г Р„ ,

П*1

если случайная величина принимает бесконечную совокупность значений.

При решении задач дисперсию удобно вычислять по формуле

 

 

A(X) = M(X‘) - [ M W ] '

•

 

Дисперсия обладает следующими свойствами.

Д(6) - о.

1. Дисперсия неслучайной величины равна нулю:

2. Постоянный множителе за знак дисперсии выносится в

 

квадрате:

Д(СХ) -

С ' 0 ;

-

■

 

 

3.

Дисперсия

суммы независимых случайных величин равна

 

суше их дисперсий: .

 

 

 

 

 

Д И ]

= Д ( Х ] + Д ( У )

,

 

если

„ X

,

У

независимы.

 

 

4.

Дисперсия разности независимых случайных величин

 

равна суше

дисперсий этих величин

 

 

Д И ) . - М Х ) + Д ( У Ь

если X , У - независимы.

1

?3

Средним квадратическим

отклонением

0

х

случайной вели­

чины

X

 

называется корень квадратный из

дисперсии

 

 

 

 

 

о , = !/д7 ‘

 

 

 

 

Дискретная

случайная

величина

. X

 

называется распреде­

ленной по биномиальному закону,если ее

возможные

значения

0 , 1 . 2

, П

, а ‘вероятность того, что

Х ® Ш

 

(fT*3 0,1,2,.. vn)

выражается формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

\

т\

/лго

о» п -ю

 

 

 

Р (X*fn)

- Pf i . m

а

С\ д Р

где

^ =

1 ”

р

,

0

< Р <

1 •

 

 

 

 

Для случайной

величины

X '

.распределенной

по биномиаль­

ному

закону,имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

i

М(Х) * пр > Д(Х)~ npq, .

*

18.291. производится один выстрел по мишени.Вероятность попа­ дания равна О,4 .Построить функцию распределения числа попаданий

18.292. По мишени произведено Ь выстрелов.Веронтность попадания при^каждоы выстреле равна 0 ,4 .Построить функцию распределения

чиола попаданий.

•>

18.293. Блок включает в себя

4 электронных лампы двух тиггв,

по две лампы каждого типа.Вероятность отказа в работе в тече­ ние гарантийного с ^ х а для лампы первого типа гавна 0,£ , для чторох'О - 0 ,4 .Составить функцию распределения дискретной слу­

Смотрите также файлы