Файл: Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 51

19.335.

I) Для непрерывности функции

Г ("*) нужно выполне­

ние следующих условий

 

А +

Ь qicsin

(-1)

=

о

А - В f-

- О

 

Ь вгсл1п

 

=.

 

иди

= i

А +

1

1

А + Ь |

 

 

к * Т

>

в = т

 

2)

 

 

 

 

 

 

Й ( - - 2 ^ Х < ^ ) = F ( f ) _ F ( ~ f j ~

I»

“ I

f ¥ a x c s i n т

"

i ' "

"t QXCSin ( ~ i )

 

3)

о

 

_L_____

/ - o < * c o ) ( закон арксинуса)

f ( X ) «

r '( x ) =

0

(* < - a i л > а )

 

 

4)Модой распределения называется значение аргумента,при кото­

ром плотность вероятности достигает максимума.Закон арксинуса

моды не им еет,т.к .

функция

f 0

0

не имеет г,.дссимума,Медианой

расцредедения называется величина

 

С. определяемая'равенством

F ( с ) = \

.?ршая

уравнение

±

+

4

< ncsin -

= ~

находим

*

.

 

ь

 

и

a

z

 

С = 0.

—232

19,

б)

в) Если

Я

,то

Г (х) = О

в

X

 

Если

—

,ТО

' f ( X )* f

- —

-g- cos X ctx

! 0

dx+ f

 

 

 

'-.«я

Й

*

 

X

 

 

 

г

=

Sin X | _ |

- j

Sin х + | ® j

( 1 + Sin х ) .

Если X>

|

cos

x dx « 4

• то F(x) * j j *

 

r)

p

( o 4 * < f )

 

 

 

i f

dx

« 2 A ' 0 « 5 ^ -g-

А п - l

19.337. M

 

 

 

 

А = Т Г

 

Если x < —a.

, то

F (к) = О .

Если -а

< х

< а

2 3 3

г

 

 

- /„л

1

(

dx

,то гк*' ~

 

 

j

a x c s l n - £

= 1 c n c s i n £ - i q x c s i j r i ( - i ) =

*

t

^

a * e s in £

 

 

 

и

^

*

 

**

 

•'

 

 

 

Если

*

> a

,

m o

F (* ) *

iff /

 

 

Y ^ C ^ T ~ 4 ■

0

при

x < - a

f (x)={|+ ^ aacstn f

п р и - а ч< Х < а

1

при

x ^ a

£j

§ 20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

»

20.338. Плотность распределения случайной величины имеет вид

 

 

ах

при о

<r X

< 1

 

 

f

(«У

о

при

X

< 0

Х > 1

 

 

 

 

Ни основании

свойства плотности распределения можно найти

л

<

 

i

<

 

 

,

0

J ^ ( x ) d x *

; J a x d x = ^ - 1

о = 2 ,

M(к) * jV t*

dx

« | x4l’

- |

•

 

 

О

 

 

 

 

 

 

234

 

 

 

 

 

 

Дисперсию найдем по формуле

 

Д ( х )"

м ( х * ) - ( м х

 

 

м ( х г) = [ х 1- 2 х dx = |

 

•

 

 

 

 

 

 

 

Jo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a w

- w

 

 

•

 

 

 

 

 

 

б , - У

д м

 

 

 

 

 

■

 

 

 

20.339.

Так как

 

F ( x ) -

непрерывна,то

F(x„)

= 0 -

4г * О .

Отсюда

а

6

..Кроме

того,должно

быть

F (+оо) =

*®

= *гт

1.йг-

 

 

*«

Q

.

 

 

в

=

 

«

.Плотность

случайней

условия находим

= I.Тогда

-о

X,

величины имеет ВИД

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( * > -

Г'(>0

-

0

 

 

при

 

х

<• Х„

 

 

л

 

 

при

 

х » х в

 

 

 

 

 

 

б х«

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ХТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б х£

dx =

б Х * t i m

 

f . х * d x =

 

и « ■ Лр ~ 1 Г

 

 

 

 

 

* К-»Ов

хв

 

 

= 6 х „ &m Г

 

Ь)\

‘ = « я > ! т

 

 

 

 

 

 

""1

л

5

•

к , »

и ;

K J)

5

 

 

 

 

Дисперсию найдём.по аормуле А М = м о * ) - ( м х ) г .

,

СО 6 x t

dx

=>

А

Pirn

(

х"; ~ l b ) = f л *

 

Xq

X5

 

 

и.—+со \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г 3

 

56 N

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ~ )

-

50

А#

’

 

2 5 $

20.340. Плотность случайной величины Т

 

определяется по

формуле

 

 

 

С

при

t

< о

Л £

- 4 .t

t

> о

цри

Среднее время поиска

At

м(т) -

' о

50

1

20.341. лоэффицивиГ ■

 

 

найдем из условия

I I (X) ctx

Так как функция

Д •£ •|х|

-

Четная,то

 

I Д £

dx « 2 А I -£ dx *• - 2 А £

~ 2 А

 

 

К

 

 

1*

 

Следовательно,

А

,

 

f (х) «. ^ £ ”***

М (*)“ /

* f £

dx

=*

О

, т . к. функция

X £

нечетная.

 

 

 

 

 

 

Д ( Ю *

 

 

J ^ x * 6 * dx - j ^ x W ' d x .

-•нтеграл найдем по формуле интегрирования по частям.Для этого

вносим функцию

■€’"’*

под знак дифференциала.

Д ( К ) - - f ’V d r * >=: - г г * Г + Г " г X r Adx =

 

 

 

 

 

 

-

вЭб

 

 

 

r ° °

- *

 

 

j

 

f

CO

=-2 1 кd6

=-2 *e"*

+2 J €~*dx =

 

 

*'$

00

 

 

*0

j

if

- -

 

x

= l .

 

 

 

 

 

2 £

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.342. Так как

Г ( x )

_

непрерывна,то F ( - 1) = о и

F ( - 0

= а

- 6 Q^ « L n

1 -

а

- |

£

.ид условий

a - S - | = o f

P ( i ) = a + ^

=

l

находим параме­

тры

а

и

б

:

а = 1

,

8 = ~ .

Тоща

плотность распределения имеет вид:

о

f < » -

•1.

1

ТГ'УТГдТ

о

V

x d x

о

нечетная

при

х 4 -

i

при

- 1 < х

4

1

при

К

> 1

,т .к .

подынтегральная функция

A W - M ( x ‘).i|': ed*

_

i_

f ' ■ * 2 d *

 

- I

V «-x*‘

~

n

J 0 V T ^xT

 

Сделаем замену переменной

x = S in

t

, dx = c o s t d t

Тогда

 

 

 

 

 

A W = | [ ’- ^ i L ^ t d t

 

A p S i n M d t

»

J o V l ^ S l n M

 

I

 

 

 

о(n - т •

Смотрите также файлы