Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

относящихся к нелинейным конститутивным уравнениям n-го порядка, гарантирован только при условии выпол­ нения соотношений (В. 10) и (В. 11).

Нелинейная теория второго порядка была впервые предложена в общем виде Ли [45] и Дьярмати [43], а для частного случая химических реакций — Риссельбергом [44]. Эти авторы предприняли попытки (разными, но всегда чисто феноменологическими методами) прове­ рить справедливость соотношений симметрии более вы­ сокого порядка для коэффициентов Likj и Rikj и соот­ ветственно конститутивных уравнений второго порядка

К сожалению, как показали Холмс и Мортимер [95], сам по себе метод Онсагера, опирающийся на гипотезу о ми­ кроскопической обратимости, приводит к иному резуль­ тату, чем феноменологические методы. С другой сторо­ ны, справедливо и то, что феноменологические методы, использованные здесь, можно подвергнуть критике, хотя критические высказывания, опубликованные до сих пор, сильно преувеличивают недостатки методов. В любом случае следует подчеркнуть, что до тех пор, пока соот­ ношения взаимности более высокого порядка не под­ тверждены в некотором приближении точными и об­ щими методами (или даже экспериментально), они и построенные на них нелинейные теории остаются пу­ стым формализмом.

В качестве дополнения к предыдущему следует отме­ тить, что принцип «равноприсутствия» Трусделла [1, 96], по-видимому, является фундаментальным в отношении существования общей нелинейной теории: «Величина, присутствующая в качестве независимого переменного

в одном конститутивном уравнении, должна также при­ сутствовать во всех остальных, если это не противоре­ чит какому-либо общему закону физики или симметрии вещества». Систематическое применение этого принципа к нелинейным (пока лишь гипотетическим) конститутив­ ным уравнениям совершенно необходимо. Однако неко­ торые общие замечания можно сделать, не проводя глубоких исследований. Наиболее общим законом тер­ модинамики необратимых процессов является второй за­ кон, который в случае континуума должен выполняться также локально. Отсюда с очевидностью следует, что реалистическую картину могут дать лишь такие нелиней­ ные конститутивные уравнения, которые во всех случаях обеспечивают положительную определенность локаль­ ного производства энтропии. С другой стороны, рассмо­ трим, например, приближение (В .14) в случае одногоединственного векторного процесса. Тогда, обращаясь к выражению

мы видим, применяя теорему Кюри в изотропном слу­ чае, что величины Ьщ должны быть равны нулю, по­ скольку величина Ь щ (\Т г)2 должна быть тензорной, а это невозможно без нарушения изотропности простран­ ства. В общем случае, аналогичная ситуация возникает всегда, когда группа симметрии вещества включает в себя преобразование инверсии. Опираясь на это и дру­ гие подобные следствия симметрических свойств про­ странства (соответствующих трусделловскому принципу «равноприсутствия») в сочетании с условием, согласно которому а при всех обстоятельствах должна быть по­ ложительно ■определенной величиной, представляется возможным сделать вывод, что из приближений (В. 8) и (В. 9) допустимы лишь приближения с нечетным п. Иначе говоря, мы можем ограничиться теми приближе­ ниями более высокого порядка, в которых производство

энтропии а и потенциалы рассеяния ф и <р содержат члены лишь четного порядка. Хотя можно привести дальнейшие соображения в пользу допустимости прене­ брежения членами нечетного порядка в последующих

приближениях для потенциалов рассеяния, окончательно решить вопрос можно только после тщательного анализа на основе принципа «равноприсутствия» Трусделла.

Г. Справедливость вариационного принципа в случае нелинейных проблем

Легко показать, что нелинейная теория, представлен­ ная конститутивными уравнениями (В. 8) и (В. 9) и по­ тенциалами рассеяния (В. 12) и (В .13), входит в вариа­ ционный принцип. Для этого достаточно доказать, что конститутивные уравнения (В.8) и (В.9) удовлетво­ ряют вариационному условию

согласующемуся с универсальным локальным выраже­ нием (4.28). Действительно, если переписать условие (Г.1) с помощью (3.81), (В.8) и (В.9), проварьировать одновременно по потокам и силам ѴГі и использовать соотношения

ШѴг,=ѴІ’* " ЫУ,,“ '* (4=‘’2..

из универсальной формы интегрального принципа (А.1). Эти уравнения являются частными видами общего урав­ нения

ро + Ѵ -Ы Г, ѴГ, . ... ѴПГ, ... ) = <r, (*-==1, . . . . f).

В случае теплопроводности в твердых телах нели­ нейные уравнения переноса (в энтропийном представле­ нии [I, 58, 60, 84, 85]) имеют вид

ственно более высоких порядков. Легко понять, что не­ линейные уравнения переноса (Г. 4) можно также выве­ сти из универсальной формы (АЛ) и из парциальной формы (Б.2) интегрального принципа, по крайней мере, если коэффициенты являются постоянными величинами. Последнее уже было показано [56] для частного случая конститутивных уравнений второго порядка типа (В. 14). Для более общих конститутивных уравнений (В. 8) по­ дробное доказательство дал Винчи [97]. (Необходимо отметить, что Винчи [97] обобщил теорию на случай опе­ раторных коэффициентов; это позволило ему особым путем вывести из парциальной формы принципа (Б. 2) электродинамические уравнения Максвелла.)

Из всего вышесказанного вытекает, что нелинейные теории, представленные конститутивными уравнениями (В.8) и (В.9), также охватываются нашим вариацион­ ным принципом (мы сочли необходимым еще раз под­ черкнуть это обстоятельство). Поэтому в будущем необхо­ димо прежде всего проверить справедливость соотно­ шений взаимности более высокого порядка с помощью

зультате анализа, выполненного с помощью точных ста­ тистических методов, будет установлена несправедли­ вость соотношений взаимности более высокого порядка. В этом случае все вышеизложенное теряет всякий смысл; к сожалению, это будет также означать, что мы еще не имели общей и единой нелинейной теории.

Д. Дополнительная теорема и квазилинейная теория

Представляется очень странным, что в то время как нелинейные уравнения переноса типа (Г. 4) можно вы­ вести как из универсальной формы интегрального прин­ ципа (А. 1), так и из парциальной формы (Б.2), в ква­ зилинейном случае дело обстоит иначе. Другими сло­ вами, универсальная и парциальная формулировки интегрального принципа в квазилинейном случае не экви­ валентны. Действительно, легко убедиться, что квазили­ нейные уравнения переноса (В.3) нельзя получить из парциальных форм (Б. 2) и (Б. 5), т. е. они не пред­ ставляют вариационного принципа в нелинейном случае. Именно поэтому ранее при рассмотрении теплопровод­ ности в твердых телах мы предпочли формулировку интегрального принципа в универсальной форме [91]. Те­ перь, обобщая наши предыдущие результаты, докажем в общем виде дополнительную теорему, которая обеспе­ чивает справедливость универсальной формы в квазили­ нейных случаях. Коротко теорему можно сформулиро­ вать следующим образом: В случае квазилинейных кон­ ститутивных уравнений вариация суммы потенциалов рассеяния по параметрам Г\ равна нулю.

Чтобы доказать эту теорему, необходимо лишь пока­ зать, что локальная формулировка (4.34) — (4.35) экви­ валентна не только линейным законам с постоянными коэффициентами (4.2) и (4.6), но и квазилинейным за­ конам (В. 1) и (В. 2). Доказательство достаточно про­ сто. Мы имеем