Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

которые в принципе различны и опираются на диффе­ ренциальные уравнения.

Прежде всего следует дать интерпретацию величин 6Г,-, которые в методе, ведущем к (Б. 15), используются в качестве множителей. Это опять можно сделать двумя различными путями:

а') Величины бГ, рассматриваются как вариации полевых величин Г, {r,t) в точном математическом смыс­ ле, т. е. операция 6 означает виртуальное варьирование. Такая интерпретация величин 6Г, согласуется с опера­ циями математической физики и адекватна им; ис­ пользование б в ограничениях (Б .6) является вполне строгим.

б') Величины 6Г, рассматриваются как реальные физические флуктуации полевых величин Г* (г, t), т. е.

Гг = Г? + бГг, где Г? — среднее значение в определенном

состоянии (например, в стационарном состоянии). Не­ которые авторы считают, что подобная интерпретация позволяет «глубже понять смысл процесса», использо­ ванного в (Б. 16). Так, например, может оказаться, что величины (pâj — а*) и Lik, которые можно рассматри­ вать как функции полевых величин Г,-, заданы около

состояния, определенного параметрами Г?, а членами

более высокого порядка мы пренебрегаем.

С 1965 г. до настоящего времени исследования, целью которых была формулировка интегрального принципа термодинамики в парциальной форме (Б.5) и (Б.17), раз­ вивались различными путями. Одно направление иссле­ дований было определено в нашей работе [55, 56]; здесь удалось, начав с детального анализа принципа Онсагера и произведя вывод уравнений переноса, получить фор­ мулировку (Б. 5) [56—58, 60, 64—66, 78—81, 83—85, 91,

локальных потенциалов», ранее применявшимся только для решения задач, не содержащих зависимости от вре­ мени [69, 75], и распространили его на задачи, где такая зависимость существует. Этот метод использовали и дру­ гие авторы [93, 94]. Выше он был изложен в самом об­ щем виде, когда мы, исходя из дифференциальных урав­

Войта [82, 84] первым доказал, что найденные нами парциальные формулировки (Б.5) и (Б. 10) идентичны формулировкам типа (Б.17), которые получены для осо­ бых случаев при помощи метода Пригожина и Глансдорфа. Позднее Фархаш [85] детально изучил соотношение между двумя различными подходами для частного слу­ чая теплопроводности. Следовательно (после того, как мы окончательно выяснили соотношение между двумя различными подходами и доказали их эквивалентность с практической точки зрения), мы должны избегать не­ ясных концепций (кратко сформулированных в пунктах «б» и «б'»), которые лежат в основе «метода локальных потенциалов». Кроме принципиальных соображений, ав­ тора вынуждает поступить так и то обстоятельство, что содержание пунктов «б» и «б'» (и многие неясные их следствия) уже служило объектом критики, иногда суро­ вой, но всегда обоснованной (см. [82,84] и особенно [92]). Поэтому необходимо подчеркнуть, что мы всегда будем придерживаться положений, развитых в пунктах «а» и «а'». Это, между прочим, означает, что мы всегда будем стараться помнить о пути, на который впервые указал в 1931 г. Ларе Онсагер. Это наиболее плодотворный

по сравнению с теми, которыми пользовались ранее дру­ гие авторы.

В заключение следует заметить, что парциальные формы интегрального принципа термодинамики, кото­ рые здесь использовались, в действительности представ­ ляют собой точный вариационный принцип только в линейном случае. Распространить их справедливость на квазилинейный случай, т. е. на случай, когда проводи­ мости Liu и сопротивления Rih являются функциями по­ левых величин Гі, можно только путем самосогласования. Однако здесь мы не станем рассматривать подоб­ ные приближенные методы. Вместо этого мы покажем, что справедливость универсальной формы вариацион­ ного принципа термодинамики можно строго доказать

также и для квазилинейного случая (и, кроме того, для проблем, которые можно описать нелинейными уравне­ ниями переноса определенного типа).

В. Нелинейные задачи

Теперь рассмотрим следующие обобщенные консти­ тутивные уравнения:

и их аппроксимацию, очень важную с практической точ­ ки зрения

Эти уравнения являются обобщением линейных кон­ ститутивных уравнений (4.2) и (4.6) с постоянными ко­ эффициентами и ведут к квазилинейным уравнениям переноса:

Квазилинейную теорию, оперирующую с приведенными выше дифференциальными уравнениями, можно рассма­ тривать как полную, если постулировать соотношения взаимности

и соответственно

Хотя до сих пор справедливость соотношений Онсагера всегда подтверждалась лишь для случая постоянных коэффициентов [3, 4, 27, 51], особенности доказательства позволяют считать их справедливыми и в смысле (В.4) и (В. 5). Этим обеспечивается потенциальный характер функций (В .6) и (В.7). Квазилинейная теория, выра­ женная уравнениями (В. 1) —(В. 7), имеет такой лее об­ щий характер, как и соответствующая линейная теория; при этом обобщение сильнее всего повлияло на вид по­ тенциалов рассеяния (В .6) и (В.7).

Рассмотрим теперь следующие аппроксимации при­ веденных выше обобщенных конститутивных уравнений:

с помощью которых (в соответствующем приближении) можно выразить нелинейность «-го порядка. Легко

понять, что термодинамическую теорию, опирающуюся на подобную форму конститутивных уравнений (т. е. на строго нелинейные уравнения), можно рассматривать как общую и единую теорию только в том случае, когда постулирована справедливость следующей системы со­ отношений взаимности:

Lik == Lki,

поскольку потенциальный характер функций рассеяния

in)