Файл: Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление.pdf

Zbi зависят от величины модуля процесса и требуемой точности знания о нем и т. д.

В исследовательской практике встречаются и такие случаи, когда величины Т, ö и і не зависят от выбора исследователя, а заданы заранее. При этом одно из пра­ вил методологической профилактики сводится к выясне­ нию вопросов о том, какому по модулю процессу они наиболее соответствуют, какие из морфологических ха­ рактеристик могут быть выявлены, каковы границы до­ стоверности выводов, получаемых при данных значениях Т, іЭ и і.

Из всего сказанного вытекает, что эмпирическая ста­ дия в структурно-диахроническом исследовании требует тщательной, продуманной теоретической подготовки. Именно на подготовительном этапе устанавливается до­ пустимая степень схематизации «живого» явления, опре­ деляются его наиболее существенные для данной исследо­ вательской задачи качественные признаки, намечаются способы количественной оценки этих признаков, выра­ батываются методики записи наблюдаемых фактов в ходе явления и т. п.

Продуктом данной стадии в конечном итоге будет словесное, графическое или чисто символическое опи­ сание конкретного явления, некий неизбежно упрощен­ ный, огрубленный, «омертвленный» образ реального про­ цесса, но зато образ четко зафиксированный, более или менее точный и полный, позволяющий проверять и пере­ проверять отдельные его детали, пригодный для дальней­ шего теоретического анализа.

§ 2. Геометрическое отображение процессов. Аналитические пространства и траектории

Из всех известных на сегодня способов отобра­ жения реальных процессов наиболее удачным, по-види­ мому, является их геометрическое и, в частности, графи­ ческое изображение. Одно из его преимуществ состоит в том, что оно делает целостную картину процесса на всем его протяжении во времени легко обозримой, компактной, доступной для обобщающего, синтезирующего восприя­ тия. При помощи геометрических образов «легче довести до сознания сложные умственные ансамбли, чем при по­

104

мощи длинных цепей фонем или соответствующих им письменных знаков алфавита естественного языка».1

Широко известный частный случай геометрического изображения процессов — графики на плоскости с прямо­ угольной системой координат и шкалированной осью вре­ мени. Овп являются не только хорошей пллюстрапией к текстовому или табличному материалу, по и самостоя­ тельным средством анализа,’ позволяющим выявить це­ лый ряд характеристик процесса через те или иные осо­ бенности рисунка траектории, обозреваемые единым взглядом сразу во всей их совокупности. Это свойство плоскостных графиков сочетается с технологической простотой и удобством их построения: чтобы нарисовать график, достаточно имѣетъ под рукой лист бумаги или гри­ фельную доску и перо, карандаш, мел и т. п.

Помимо графиков в прямоугольной системе коорди­ нат с равномерными масштабными шкалами использу­ ются и другие формы графического изображения пгопес-

Особый интерес для целей структурно-диахрониче­ ского исследования представляют круговые диаграммы, используемые для отображения периодических ппопессов в метеорологической, экономической и демографиче­ ской статистике, а также графики на полулогарифмиче­ ской сетке. Последние позволяют совместить на одном и том же чертеже в соизмеримой и сопоставимой форме сразу несколько разнородных показателей, а также отно­ сительные их изменения по сравнению с предыдущим уровнем.

Мы не будем останавливаться здесь па многочислен­ ных технических подробностях построения графиков — па вопросах о выборе формата, масштабов, густоты сетки, условных знаков, о размещении значащих точек и т. п., так как они уже изложены в специальных руководствах. В литературе по статистике можно найти также и реше­

105

жепием мезо- и макромодульных процессов в виде так называемых динамических рядов.2

Рассмотрим подробнее более общий случай геометри­ ческого изображения процессов при помощи специально конструируемых воображаемых аналитических простраиств,3 разновидность которых, собственно, и пред­ ставляют собой указанные выше плоскостные формы гра­ фического изображения.

Как и для плоскостных графиков, основным элемен­ том аналитических пространств являются те или иные системы координат. Основное отличие таких пространств от трехмерных пространств стереометрии в том, что число координатных осей в них может быть произвольным в за­ висимости от условий решаемой задачи.

Так, при рассмотрении некоторой физической системы, состоящей из п независимых элементов, каждый из кото­ рых характеризуется шестью степепямп свободы, кон­ струируется 6?г-мерное фазовое пространство. Возможные

некоторым множеством последовательных точек, образую­ щих траекторию.

Вместо множества независимых элементов могут рас­ сматриваться отдельные из п независимых признаков некоторого объекта, например в медицинской диагно­ стике,4 социологпп,5 биологической систематике,6 теории управления7 и т. д. В этих случаях также могут быть

дивидуальными качествами. Некоторые авторы называют

и далее скорее в общем, чем в строго специальном математи­ ческом смысле.

“’M. JT. Б ы х о в с к и й. Машинная диагностика, основанная на принципе фазового интервала. — В кп.: Машинная диагностика и информационный поиск в медицине. Μ., 1969.

s Распознавание образов в социальных исследованиях. Под ред. Н. Г. Загоруйко и Т. И. Заславской. Новосибирск, 1968, с. 6.

6E. С. C м и р и о в. Таксономический анализ. Μ., 1969.

7 П. Д е р у с с о, Р. Рой, Ч. Клоуз. Пространство состояний в теории управления. Μ., 1970.

106

и т. п. Нас не должно это смущать, так как за разными названиями стоит в сущности одно и то же содержание, одни и те же цели наиболее адекватного отображения реальных сложных явлении.

Метод фазовых пространств в теории йвтоматического управления и регулирования детально разработали А. А. Андронов, А. А. Витт и С. Э. Хайкии. В своей фун­ даментальной работе они дают предельно четкое и крат­ кое определение фазового пространства для случая п = 2, т. ѳ. для фазовой плоскости: «...она изображает совокуп­ ность всех возможных состояний нашей системы. Каж­ дому новому состоянию системы соответствуют все новые и новые точки фазовой плоскости».8

Своеобразную конструкцию фазового пространства ис­ пользует У. Р. Эшби.9

Мы будем в дальнейшем называть фазовым простран­ ством такое n-мерное аналитическое пространство, в ко­ тором ось времени занимает равноправное положение на­ ряду с другими осями, определяющими качественную специфику отдельных фаз процесса. Отдельные точки в таком пространстве будут отображать различные фазы процесса, а последовательная их совокупность — траекто­ рию хода процесса во времени.

Траектория — это как раз тот самый аналитический образ процесса, построением которого заканчивается эм­ пирическая стадия и который подвергается анализу на всех последующих стадиях структурно-диахронического исследования.

Рисунок траектории со всеми его морфологическими особенностями служит основанием для тех или иных вы­ водов о специфике отображенного процесса с точки зре­ ния его композиции и морфологии. И в рамках структур­ но-диахронического исследования первый вопрос, который должен быть поставлен, когда заходит речь о каком-либо процессе; каков может быть рисунок траектории этого процесса?

107

§ 3. О способах наглядного изображения n-мерных траекторий

Вполне естественно, что ответ на такой вопрос упрощается, если есть возможность просто-напросто нари­ совать траекторию.

При п=2 это не составляет особых трудностей. В на­ чертательной геометрии разработаны также способы плоскостного изображения трехмерных координатных си­ стем. Что же касается случаев, когда рассматриваются «-мерные траектории при «>3, то их наглядное изображе­ ние на плоскости становится крайне сложным или даже невозможным. При некоторых условиях, однако, подобные затруднения преодолимы.

Принцип отображения «-мерных объектов при « > 3 на плоскости полезно рассмотреть на примере топографи­ ческих планов местности. Каждая точка реальной земной поверхности характеризуется, вообще говоря, бесконечным числом признаков — широтой, долготой, высотой над уров­ нем моря, типом рельефа и характером почвы, наличием растительности, инженерных сооружений, гидрогеологи­ ческими признаками, определенным геомагнитным полем, сейсмическими, метеорологическими характеристиками и т. д. и т. п. В основе принципа отображения некоторого комплекса таких признаков каждой реальной точки лежит использование двух технических приемов: во-первых, на плоскость будущего топографического плана наклады­ вается сетка пространственных координат, во-вторых, вво­ дится более или менее сложная система условных обозна­ чений для каждой совокупности качественно различных признаков.

Система координат служит для регистрации взаимного размещения отдельных точек в плане, а также для после­ дующей разбивки всей плоскости на некоторые специфи­ ческие области — сушу и воду, почвенные зоны, горы и равнины, области с магнитной аномалией, населенные пункты и дороги и т. п. Условные обозначения вводятся как для этих областей, так и для индивидуальных характе­ ристик отдельных точек реальной земной поверхности. Каждый из комплексов условных знаков приобретает при этом смысл координатной системы, а сам топографический план местности под этим углом зрения представляет собой продукт многократного наложения друг на друга целой

108

Серии таких систем. Если через несколько точек на топо­ графическом плане проложить некоторый маршрут, то его с полным основанием можно будет рассматривать в каче­ стве наглядного и при этом изображенного на плоскости аналога п-*мерной траектории.

Похожий по сути дела принцип отображения ?г-мер- нон траектории на плоскости используется и в нотной грамоте для записи процессов музыкального звуча­ ния: при помощи линеек нотоносца и знаков музыкаль­ ного ключа плоскость разбивается на области звуков разной высоты. В этих областях размещаются индивиду­ альные знаки отдельных звуков разной продолжительно­ сти — целые ноты, половинные, четвертные, восьмые и т. Д., а также знаки пауз. Последовательность звуков и пауз определяется правилом записи их знаков справа на­ лево и сверху вниз по листу. Для характеристики отдель­ ных этапов исполнения музыкального произведения ис­ пользуется система условных словесных обозначений.

Наконец, тот же самый принцип — разбивка плоскости иа отдельные области и ячейки в сочетании с системой условных знаков — успешно используется при решении задач математической логики с помощью диаграмм Венна,10 в теории графов и т. д.

По-видимому, «картографический» метод может найти широкое применение в структурно-диахроническом иссле­ довании, где особое внимание уделяется топологическим особенностям рисунка траектории и где многие задачи сво­ дятся к сопоставлению траекторий между собой или с не­ которым эталонным рисунком.

Особенно перспективным этот метод представляется для исследования таких явлений, предметно-содержатель­ ные характеристики которых ие поддаются точной градуи­ ровке и измерению в том смысле, в каком измеряют, например, при помощи каких-то приборов физические величины.

C такими явлениями часто сталкиваются психологи, социологи, историки, педагоги, юристы; встречаются они и в области естественных и технических наук, особенно

10 А. С. Кузичев. 1) Диаграммы Вѳнна. Μ., 1968; 2) Реше­ ние некоторых задач математической логики с помощью диа­ грамм Венна. — В кн.: Исследование логических систем. Отв. ред. П. В. Таванец. Μ., 1970, с. 282 и далее.

109

Коцца дело касается мезо-, макро- и мегамодульных про­ цессов.

В подобных случаях бывает обычно известен пере­ чень качественных признаков, определяющих специфику явления, а также полярно противоположные значения этих признаков." Опираясь на эти сведения, мы можем скон­ струировать такую фазовую плоскость, на которой каж­ дому из признаков (или их группам) будет соответство­ вать некоторая полоса, вытянутая вдоль оси времени.

Отдельные точки, отражающие моментные состояния изучаемого явления, определятся в таком пространстве пересечением абсциссы-времени с той областью, которая наиболее соответствует качественной оценке текущего со­ стояния. Серия последовательных во времени наблюдений зафиксируется на фазовой плоскости серией точек, т. е. образует ту или иную траекторию.

Анализ такой траектории возможен уже с привлече­ нием количественных оценок для исходных сугубо каче­ ственных аспектов явления: рассматривая рисунок траек­ тории, мы можем определять, например, число переходов пз области в область, продолжительность нахождения траектории в той пли иной области фазовой плоскости, общее число областей, через которые прошла траектория,

ɪɪ т- Д-

Важно отметить, что при этом вопрос о точности опре­ деления ординат траектории отходит на второй план: ри­ сунок траектории зависит в основном от того, в какую именно область попадают отдельные точки, положение же точек внутри одной и той же области мало влияет на то­ пологические особенности траектории.

При решении задач на сопоставление и сравнение тра­ екторий становится допустимым известный произвол и во взаимном расположении качественно различимых обла­ стей фазовой плоскости, важно лишь, чтобы расположение оставалось одинаковым при эмпирической регистрации всех сравниваемых траекторий.

11 Примером здесь может послужить градация возможных

(«очень хорошие», «скорее хорошие, чем плохие», «нейтральные», «скорее плохие, чем хорошие», «очень плохие») и т. п.

но