Файл: Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление.pdf

большей чувствительностью к малозаметным па первый взгляд слабым или медленным воздействиям.

Важное отличие этих систем, во-вторых, состоит в том, что при их изучении центр тяжестп смещается на мезо- п макромодулыіые процессы, тогда как в технических системах бывает достаточно ограничиться анализом микро- и мезомодулыіых явлений.

В-третьих, явно непригоден в чистом виде инженернотехнический подход и в тех случаях, когда вмешательство в ход процесса влечет за собой последствия морального, политического, юридического, эстетического и т. п. харак­ тера, ие поддающиеся формализации в технико-экономи­ ческих терминах.

C этой точки зрения важно выделить особо первую стадию анализа траекторий — стадию группировки и обоб­ щения опытных данных.

Эти две процедуры могут применяться, вообще говоря, в разной последовательности относительно друг друга. В настоящее время часто встречаются случаи, когда сна­ чала обобщаются данные, а затем рассматриваются раз­ личные варианты типологической группировки обобщен­ ных траекторий по тем пли иным признакам.20

Такая очередность процедур, более или менее прием­ лемая при анализе серийных технических устройств, осо­ бенно при рассмотрении связанных с ними микро- н мезомодульных процессов, не всегда целесообразна для исследования мезо- и макромодульиых явлений биологи­ ческого, психологического, социологического, демографи­ ческого характера.

Если основной целью исследования в технических нау­ ках является обеспечение успешного функционирования любого из серийных объектов при любых практически встречаемых внешних условиях, то в биологии, психоло­ гии, социологии, медицине и т. д. па первом плайе стоит учет индивидуальных особенностей отдельных объектов исследования. Если в технических науках колебания

20 Подобная очередность лежит, например, в основе разграни­ чения так называемых дискретных и непрерывных процессов (В. Μ. Гаврилов. Оптимальные процессы в конфликтных ситуациях. Μ., 1969, с. 9—10 и др.), а также процессов нестацио­ нарных (переходных) и стационарных. В последнем случае типо­ логически группируются не некие целостные процессы, а их обобщенно трактуемые фрагменты или стадии.

118

внешних факторов заранее компенсируются созданием запасов прочности, надежности и т. п., то в указанных науках необходимо считаться с наличием типически инди­ видуализированных реакций на внешние воздействия неодинаковых, в общем-то «не серийных» объектов.

Наконец, если в технических науках зачастую приме­ нимы упрощающие исследование принципы «мгновенного действия», суперпозиции и др., связанные с гипотезой од­ нородности времени, то при изучении «органических» мезо- и макромодульиых процессов приходится учитывать явления гистерезиса (т. е. запаздывания реакции на дей­ ствие), явления, связанные со специфичностью действия неразложимых на составные элементы комплексов внеш­ них факторов, а также явления, связанные с фактической неоднородностью отдельных времен дня, ¡сезонов года и т. п.

Все эти обстоятельства несомненно заслуживают вни­ мания при решении вопроса об очередности процедур груп­ пировки и обобщения эмпирически зафиксированных тра­ екторий, а также при переносе за рамки технических наук тех методов обобщения опытных данных, которые «внутри» технических дисциплин успешно себя зареко­ мендовали.

Основными среди этих методов являются так называе­ мые обобщение по множеству и обобщение по времени.

Обобщение по множеству состоит в том, что статисти­ ческой обработке подвергается некоторая совокупность траекторий, зафиксированных для множества одинаковых объектов в те или иные моменты времени. Правомерность такой процедуры основывается на предположениях о тож­ дественности изучаемых объектов и о тождественности различных интервалов времени.

Врезультате статистического усреднения при подоб­ ном обобщении исключаются все индивидуальные особен­ ности отдельных траекторий, все привходящие и случай­ ные факторы и выявляются устойчивые, типичные харак­ теристики данной совокупности траекторий.

Вобласти социологии, психологии, медицины, физиоло­ гии и т. п. дисциплин обобщение по множеству дает воз­ можность установить общие, усредненные характеристики явлений применительно к некоторым статистическим сово­ купностям индивидов. Так, например, в результате такого обобщения можно получить сведения о том, насколько

119

цичных сезонных колебаний некоторого показателя (то­ варных запасов, коэффициента рождаемости и т. п.).23 Мы специально подчеркнем здесь связь этих обоих способов обобщения с гипотезой однородности времени, так как ее применимость требует специального обоснова­

ния в каждом конкретном случае.

Обобщение по множеству недатированных траекторий и сплошное обобщение по любым, произвольно выбран­ ным интервалам времени вполне допустимы в тех случаях, когда объекты исследования во всех отношениях одина­ ковы, когда надежно установлены стандартные условия воспроизведения эксперимента и когда заранее известен полный список существенных для данного явления внеш­ них естественных факторов.

Если же мы имеем дело с объектами заведомо неодно­ родными, изменчивыми, малоизученными и если есть основания предполагать различные интервалы реального времени неэквивалентными в интересующем нас отноше­ нии, то от выбора того или иного способа обобщения эмпи­ рических данных будет зависеть возможность более или менее точного истолкования обобщенных результатов, сте­ пень надежности исследовательских выводов.

Степень точности и надежности выводов при обобще­ нии зависит также и от того, насколько «органично» выбранное для исследования множество объектов, рас­ сматривается ли случайная статистическая выборка объектов или совокупность объектов, входящих в некое целостное объединение.

Так, например, при социологическом исследовании научных кадров мы можем объединить в одну группу, скажем, всех имеющих ученую степень мужчин в возрасте от 30 до 40 лет, независимо от местожительства и места работы; при другом, более детальном подходе можно рас­ сматривать группу мужчин в возрасте от 30 до 40 лет, имеющих ученую степень и при этом занятых в одном и том же научном коллективе или живущих в одном го­ роде и т. п.

Однако в этих случаях требуемая степень точности и надежности выводов определяется конкретной исследова­ тельской задачей в соответствии с компетенцией конкрет­ ной отрасли науки.

23 Я. П. Г ѳ р ч у к. Графические методы в статистике, с. 145.

121

§ 6. Аналитическое описание траекторий

Со времен Декарта, установившего понятие переменной величины и связь между графической и ана­ литической формами ее записи, мощным средством каче­ ственного и количественного анализа траекторий стало рассмотрение тех или иных математических функций, описывающих некоторую траекторию в символическом виде.

Задача адекватного аналитического описания измен­ чивости разнообразных реальных явлений на протяже­ нии уже многих столетий не теряет своей актуальности. Эта задача по сути дела послужила стимулом для выра­ ботки многих важнейших математических понятий, та­ ких как переменная и постоянная, функция, бесконечно малая величина, производная и дифференциал, интеграл, вектор, логарифм, вероятность, случайная величина и случайный процесс и т. д. Попытки решения этой задачи можно обнаружить у истоков развития многих математи­ ческих теорий и целых разделов математики.

Поэтому не удивительно, что сегодня существует трудно обозримое множество разнообразных подходов к аналитическому описанию траекторий.24 Наиболее рас­ пространенными среди них являются, пО-видимому, сле­ дующие четыре:

1) приближенное изображение функциональной зави­ симости и подбор эмпирических формул;25

24 Например, для анализа лишь так называемых нелинейных уравнений и связанных с ними траекторий указывается до три­ надцати разных методов (И. И. К р и н е ц к и й. Расчет нелиней­ ных автоматических систем, с. 18 и далее).

25 См., например: И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. Справочник по математике. Μ., 1957, с. 571 и далее; Я. П. Герчук. Графические методы в статистике, с. 140—145; П. Фресс, Ж. Пиаже. Экспериментальная психология, выл. III. Μ., 1970,

с. 40-43.

20 См., например: Μ. Г. Серебренников, А. А. Перво-

штейн, К. А. Семендяев. Справочник по математике, с. 549 и далее, и др.

122

jφai3neιπ≡;27 особая разновидность этого подхода — со­ ставление разностных уравнений;28

4) теоретико-вероятностный подход и, в частности, применение методов теории случайных процессов.29

Используется также иногда «индивидуальный» под­ ход к анализу отдельной траектории, когда наиболее важ­ ные ее характеристики (амплитуды, перемены знака или направления, запаздывание, частота, продолжительность отдельных стадий и др.) переводятся непосредственно в числовую форму прямо с графика.30

Каждый из этих подходов связан с использованием особых форм математического аппарата, включающих свой круг специальных понятий и терминов; каждый из подходов имеет свои достоинства и недостатки.

Выбор наиболее подходящего из них зависит от многих обстоятельств — от постановки исследовательской задачи, от исходного материала, от намеченных способов обобще­ ния и группировки опытных данных, от той или иной по­ следовательности узловых этапов обработки данных п т. п.

Мы рассмотрим некоторые из возникающих при этом методологических проблем, имея в виду прежде всего

зиционных характеристик протекания реальных явлений во времени.

C этих позиций нас интересует, во-первых, адекват­ ность того или иного аналитического описания траекто­ рии фактическим особенпоетям хода во времени ее «жи­

27 А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. Теория колебаний; Л. Я. Ц л а ф. Вариационное исчисление и интеграль­ ные уравнения. Μ., 1966, и др.

“Я. С. Б е з и к о в и ч. Исчисление конечных разностей. Л., 1939; Я. 3. Цыпкин. Теория линейных импульсных систем. Μ., 1963, и др.

29 А. Ф. Романенко, Г. А. Сергеев. Вопросы приклад­ ного анализа случайных процессов. Μ., 1968; А. Л. Зиновьев, Л. И. Филиппов. Введение в теорию сигналов и цепей. Μ.,

123

вого» прообраза; во-вторых,— и это основное — возмож­ ности прогнозирования во времени реальных процессов предоставляемые тем или иным аналитическим подхо­ дом.

В качестве исходного материала для аналитического описания могут использоваться как единичные траекто­ рии (например, уже графически обобщенные, сглаженные или, наоборот, уникальные), так п некоторые множе­ ства их. Далее, могут рассматриваться траектории уже завершенных реальных процессов «задним числом», а также траектории процессов еще не закончившихся, с неизвестным заранее финалом. Наконец, для анализа могут использоваться полные, целостные траектории, отражающие ход реального процесса от начала до конца, и траектории фрагментарные, отражающие более

случае, мы выделим здесь следующие:

1)выявление основной тенденции развития реаль­ ного явления, его общей направленности;

2)анализ отклонений конкретной траектории от не­ которой эталонной кривой;

исследовании единичных траекторий, построенных либо для отдельной, уникальной реализации процесса, либо как обобщение множества траекторий для нескольких реали­ заций.

Подбор эмпирических формул для некоторой кривой позволяет выразить в аналитической форме основную тенденцию процесса — общее нарастание или спад, ускорение или замедление хода процесса и т. п. Основное до­ стоинство этого подхода в том, что он помогает исклю­ чить всевозможные случайные отклонения, вызванные второстепенными, привходящими факторами. Однако в этом же и его основной недостаток: прогноз хода про­ цесса будет справедлив лишь для достаточно крупных ин­

124