Файл: Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление.pdf

тервалов времени, эмпирические данные о ходе про­ цесса в каждый текущий момент почти неизбежно будут отклоняться от теоретически предвычисленных величин. Поэтому такой подход необходимо использовать с извест­ ной осторожностью, с учетом допустимых границ 'интер­ поляции и экстраполяции аналитически выраженной тра­ ектории конкретного процесса.

Гармонический апалпз и разложение в ряды исполь­ зуются в основном при исследовании траекторий процес­ сов, имеющих сложный колебательный характер. Суть этого подхода в том, что сложное, нерегулярное колеба­ тельное движение представляется как результат наложепия друг на друга ряда гармонических (регулярных) колебаний с разновеликими периодами или частотами. Такое разложение в некоторых случаях позволяет вы­ явить в общем сложном механизме формирования колеба­ тельной траектории те или иные источники периодиче­ ских колебаний и затем построить модель реального яв­ ления.

В принципе гармоническому анализу могут подвер­ гаться сколь угодно сложные по рисунку колебательные траектории; однако это связано со значительной трудо­ емкостью вычислений. Для получения достоверных выво­ дов необходимо также использование достаточно «длин­ ных» траекторий, охватывающих большое число отдель­ ных колебаний.

Этот подход может использоваться как при исследова­ нии «задним числом» уже зафиксированных траекторий, так и в экспресс-анализе текущих событий. В обоих слу­ чаях на основе принципа разложения в ряды иногда раз­ рабатываются специальные механические, электрические или электронные анализаторы, позволяющие механизи­ ровать трудоемкую процедуру анализа.

К числу основных недостатков данного подхода отно­ сится то, что при гармоническом анализе построение иерархии разнопериодных гармоник производится зача­ стую априорно, по принципу равномерного последова­ тельного деления. Это усложняет, с одной стороны, вы­ явление фактических периодичностей, далеко ііе всегда имеющих регулярный гармонический характер; с дру­ гой стороны, такой подход может привести к выявлению периодичностей фиктивных, не имеющих под собой осно­ вания в самом реальном явлении. Оба недостатка гармо-

125

нпческого анализа необходимо иметь в виду при исполь-.. зовании его в прогностических целях.

Составление интегральных и дифференциальных или разностных уравнений — сравнительно «молодой» подход к аналитическому описанию траекторий. Существенный вклад в его развитие внесли А. А. Андропов, А. А. Витт и С. Э. Хайкин, разработавшие так называемую каче­ ственную теорию дифференциальных уравнений второго порядка.31 Они же использовали для анализа разногорода колебаний специфическую конструкцию фазовой поверх­ ности, точки которой определяются некоторой перемен­ ной величиной и величиной скорости ее изменения.

Траектории на такой фазовой поверхности (она может быть плоской, цилиндрической и т. и.) представляют со­ бой по сути дела некие вторичные графические образы изучаемого процесса: они строятся по вычисленным ре­ шениям того или иного дифференциального уравнения,

ане непосредственно из опыта. Огромное преимущество такого рода траекторий в том, что из знания их рисунка (замкнутая кривая, точка, прямая линия, спираль и т. д.),

атакже из знания величины так называемой фазовой скорости moh<ho вывести чисто теоретическим путем об­ щий характер движения некоторой физической системы, его основные качественные черты.

Рассматривая некое дифференциальное уравнение, можно построить при разных исходных условиях целое семейство «вторичных» траекторий, составляющих легко

совокупность движений, могущих возникнуть при все­ возможных условиях».32*

Используя дифференциальные уравнения разного по­ рядка п разной структуры, можно аналитически описать, вообще говоря, траектории с самыми разными рисун­ ками, начиная от прямолинейных, включая гармониче­ ские колебания, и вплоть до колебаний с очень сложной композицией (разрывные, дискретные и т. и.), подходя­ щих под общую формулу: «Колебанием называют любой

31A. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. Теория колебаний, с. 395 и далее.

■32 Там же, с. 40.

126

процесе 2∙,(i), не удовлетворяющий условию ж(i) =const

при — ∞ <t< ∞>>∙33

Однако метод составления дифференциальных ура­ внений для аналитического описания траекторий реаль­ ных процессов не свободен от ряда серьезных недостатков.

Первый из них — необходимость более или менее глубокой идеализации реальных процессов, т. е. пост­ роения их более или менее упрощенной модели, опи­ сываемой сравнительно простыми, доступными для ре­ шения уравнениями.

Уже так называемые параметрические процессы (т. е. процессы в системах с регулируемыми параметрами), а также процессы нелинейные (т. е. процессы в системах, параметры которых бесконтрольно меняются в ходе про­ цесса) описываются соответственно параметрическими п нелинейными уравнениями. А такие уравнения в на­ стоящее время «могут пока быть точно решены лишь в отдельных частных случаях. Поэтому единых методов расчета для всех параметрических и нелинейных цепей не существует».34

Правда, теперь уже построена теория систем с пе­ ременной структурой,35 с помощью которой можно успе­ шно решать задачи управления объектами с изменя­ ющимися и неизвестными параметрами. Но необходи­ мость идеализации реальных явлений сохраняется и в этой теории.

Второй серьезный недостаток аналитического описа­ ния траекторий реальных процессов при помощи дифференциальных уравнений состоит в том, что. этот метод применим в основном для траекторий, удовлетворящих требованию математической непрерывности.3638* От соблюдения этого требования зависит возможность дифференцирования соответствующих функций, т. е. оп­ ределения мгновенных значений быстроты или скорости изменения переменных в ходе процесса, мгновенных ве­ личин ускорения и т. п.

33 А. Л. Зиновьев, Л. И. Филиппов. Введение в теорию сигналов и цепей, с. 5.

34 Там же, с. 151.

36 Теория систем с переменной структурой. Под ред. С. В. Емельянова. Μ., 1970.

38 См., например: H. Н. Лузин. 1) Дифференциальное исчис­ ление. Μ., 1952 с. 83 и далее; 2) Ньютонова теория пределов,— В кн.: Исаак Ныотон, 1643—1727. Μ.—Л., 1943, с. 64, 72, и др.

127

Заслуживает также специального внимания примени­ мость принципа мгновеипого действия (и соответственно возможность пренебрежения гистерезисом, или ве­ личинами запаздывания реакций во времени) при соста­ влении дифференциальных или разностных уравнений на основе закона сохранения энергии. Так, при рассмо­ трении мезо-, макро- и мегамодульных процессов этот принцип применим, видимо, лишь в тех случаях, когда мы не претендуем на вполне адекватное отображение всех мельчайших деталей хода изучаемого процесса.

Как известно, при некоторых условиях дифференци­ альные уравнения могут быть заменены соответствую­ щими интегральными уравнениями.37 Поэтому высказан­ ные выше соображения в общих чертах можно распространить и на этот вид аналитического описания траекторий.

Подход, основанный на теории случайных процессов, с самого начала связан с графически наглядным траек­ торным представлением хода реальных процессов во времени. G самого начала он ориентирован на возмож­ но более адекватное отображение сложного рисунка тра­ екторий, исходя из того, что «строго говоря, пи один реальный процесс не может быть точно определен, т. е. задан аналитической функцией времени. Излучение несущего колебания передающей станции, ход высоко­ стабильных молекулярных часов (так называемых стан­ дартов) — это процессы, не обладающие абсолютно неизменными параметрами. Сдвиг фазы, частоты, а также амплитуда таких колебаний с течением времени ме­ няются».38

В эмпирическом исследовании этот подход задает четкую в методологическом отношении платформу из двух основных пунктов: а) точно зафиксировать траекто­ рию отдельной реализации процесса со всеми ее индиви­ дуальными особенностями; б) набрать достаточно боль­ шое число единичных реализаций для получения надежных выводов об особенностях хода изучаемого процесса (либо фиксировать ход процесса в течение достаточно длительного интервала времени).387

37 См., например: Л. Я. Цлаф. Вариационное исчисление и интегральные уравнения, с. 107, и др.

38 А. Л. Зиновьев, Л. И. Филиппов. Введение в теорию сигналов и цепей, с. 82.

128

при стандартных фиксированных величинах интервала корреляции (например, час, сутки, неделя, месяц, год) Естественно, что при этом необходимо будет установить определенные соотношения между абсолютными величц. нами интервалов и моментов времени (см. главу II, § 5)

Постановка аналогичной задачи важна и для выясне. НИЯ причинно-следственных связей между двумя ИЛ'0 несколькими разноприродными процессами. В этом слу. чае процедура вычисления функции взаимной корреля. ции42 требует специального анализа с точки зрениа осознанного учета явлений гистерезиса (запаздываний реакций на внешнее действие).

Для решения проблем стандартизации величин Т, й, l и D, определяющих «паспорт» некоторой траектории (см. § 4 данной главы), существенное значение имеет по-видимому, дальнейшее выяснение условий эргодичш). сти отдельных реализаций процесса,43 т. е. их способно, сти представительно отображать основные черты всего ансамбля реализаций.

Наконец, очень привлекательным с точки зрения пра­ ктических приложений структурно-диахронического нс. следования представляется то направление теории слу. чайных процессов, в котором разрабатываются проблемі,ɪ упрощающих преобразований исходных траекторий например проблемы определения вероятности превыше, иия мгновенным зпачением случайного процесса некото­ рого порогового уровня, среднего числа выбросов над этим уровнем в единицу времени, их средней и суммар­ ной продолжительности44 и т. п.

42 Там же, с. 96.

43 Там же, с. 107.

44 Там же, с. 131.

ГЛАВА V

УГЛУБЛЕННОЕ СТРУКТУРНО-ДИАХРОНИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

§ 1. Хроноструктура процесса как предмет изучения

В предыдущей главе мы обсуждали проблемы построения и анализа траекторий реальных процессов,

возникает вопрос и об особенностях протекания процес­ сов па протяжении таких «крупных» интервалов. Иначе говоря, возникает задача рассмотрения хода реального процесса на разных уровнях его детализации, в разных временных масштабах, от крупных ко все более дробным пли, наоборот, от дробных ко все более крупным при фиксированной общей продолжительности процесса Т.

Решение такого типа задач и было названо выше углубленным структурно-диахроническим исследова­ нием.

Основной предмет изучения в этой разновидности структурно-диахронического исследования — так назы­ ваемая хроноструктура (диахроническая структура) процесса.

Мы вынуждены ввести здесь в рабочем порядке этот новый, термин в связи с тем, что в литературе уже сло­ жилось двойственное понимание выражения «структура процесса». В обоих случаях при этом подразумевается, что некий процесс складывается из каких-то отличимых друг от друга элементов, взаимосвязанных между собой.

9* 131