Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

2 . Радиоаппаратура еоотоит из 1000 элементов. Вероятность

отказа каждого

элемента

за

год

работы

равна

0,001*

Найти

вероят-

«

ность

отказа двух

элементов

за

год*

Р е ш е н и е .

Рабата

элемента

в

течение

года

есть

опыт.

Всего 1000 элементов, т .е . Я*

® 1000

о п ы т о в В

результате

опыта

возможно

событие

Л

-

элемент

отказал

за год

работы,

его

вероят­

ность

р

« 0 ,001.

Требуется найти вероятность того* что

событие

Л

в

этих опытах

произойдет 2 раза ( т

*

2 ) .

Поскольку

величина

р

мала,

исполь­

зуем

формулу Пуаосона:

\^*

“ ICC 6

С

1

,

ф

*

- frftop-oteQ>)

л

%ь

a

iftco ~

5.^

■

Вероятность изготовления нестандартного продукта в некото­

ром

производстве

равна 0 ,0 0 4 ,

Найти вероятность того, что при изго

товлении

1000 единиц

окажется

пять

нестандартных.

Р е ш е н и е .

Опыт

изготовление

единицы

продукта.

Всего

\% *=

1000

опытов.

В результате

опыта возможно

событие

Л

-

едини­

ца продукта оказалась нестандартной, его вероятность

р «

0,004,

Поскольку это весьма малая величина, вероятность

того,

что

будет

VY)

»

5 нестандартных

единиц

из

1000

найдем

по

формуле

Пуассона:

*

- . « о

о.роч

^

itat

V

~

’

4.

Вероятность

выигрыша на лотерейный

билет равна 0,0002*

Найти вероятность выигрыша на 50 билетов.

Р е ш е н и е .

Опыт -

проверка лотерейного

билета. Всего 50

опытов. В результате

опыта возможно

событие

ел

-

выпал выигрыш,

его

вероятность

р

* 0 ,0002.

Требуется

найти

вероятность

то го , что

событие J \

во

всех

опытах

произойдет хотя бы один раз. Поскольку

величина

р

очень

мала,

используем формулу Пуассона.

Подучим;

I <

\SC

.о*ос*ь

V

- . \ - У л - > - b

• OjOi.

5.

Сколько

изюшш должно приходиться

в

среднем на одну булоч­

ку 0 чтобы

вероятность

иметь хотя

бы одну

изюмину

в булочке была

не

менее

0,99?

Р е ш е н и е .

Пусть

выпекается у /

булочек.

Рассмотрим одну

из

них.

Всего

взято

к

изюмин*

Каждая изюмина в эту булочку может

попасть

или

не

попасть.

Вероятность попадания равна р -^ 7

Вероятность

того,

что

в

булочку

попадет хотя бы одна изюмина^есть

у

'

4 ч- ) - 5 к

•

Поскольку Л

велико*

то

р

-

малая величина

*

“

14

Q С

можно использовать

.

и для определения

Jr*

формулу Пуассона. Так^

как, по условию задачи,

.

J уч

0 ,99,

у

получим? 0,99 *=!-£/

Отсюда

находим число

изш иис приходящихся

на

одну булочку;

нее

0 ,9

9 , должно быть

— УуН.б.

6.

1 *

На текстильной

фабрике длительными наблюдениями установде-

» .

но,

что

обрыв нити на прядильных машинах происходит в среднем Ч ра­

нити произойдет на

протяжении часа не более трех раз.

Р е ш е н и е .

Событие

Jt

- обрыв нити за

элементарный проме­

жуток времени

. На один час приходится

таких промежут­

ков и 4 обрыва. Следовательно, частота события

Jt

9 приближенно

принимаемая за его

вероятность, равна

. Так какД*(: -

малая

величина,

то

р -

тоже

малая величина.

Вероятность того ,

что за X

час, т .е .

за

уь

промежутков А^Ь , событие

произойдет

/-\№

(ирУ' -HP

Поскольку

ч

m раз,равна; j*

-

,

€

1 .

, имеем;

Q щ - x L сГн

1,1

п* будет в пределах от О до 3, Получим; j а

ь

^

п

г пЪ"

* v

\

ik)

vv^J vt"

4

е'

^

%

всего числа изготовляемых заводом те­

7о Известно, что j

Р е ш е н и е*

Опыт - проверка качества аппарата. 1Всего

Я = 200 опытов. В результате

опыта

возможно событие чЛ -

аппарат

оказался первого сорта, его вероятность

.

Наквероятнзйшее

число

Й

аппаратов

первого

сорта

находится

из

неравенств:

1

• # ^

^

а

5

тящ

= 120.

Подставляя сюда известные данные, получим:

m

Искомая

вероятность

.определяется с помощью формулы Лапласа:

- l i o

I

1Лоо4--~ -

у

gtto

*

э

ь

S

f

-О О Ь 'Ь .

о

г>

8.

База обслуживает

100

организаций,

от каждой

из

которых

может поступить заявка

с вероятностью 0 ,3 .

Найти

вероятность

наи­

вероятнейшего числа заявок, а также вероятность того, что число

заявок

будет не более

30.

Р е ш е н и е„

Опыт - проверка наличия заявки от организа­

ции, число опытов ^

=

100.

В результате одного

опыта может прои­

зойти

либо

событие

ей - заявка поступила,

либо

событие

Л

- за­

явка

не

поступила.

Вероятности этих

событий;

р

*= 0 ,3 ; Су= 1 -0,3 ®

* 0 ,7 .

Наивероятнейшее

число

заявок

ги

определяется неравенства­

ми:

—

^

р .

Подставляя

сюда

имеющиеся

данные,

получим:

О

вычисляем по формуле Лапласа (3 .5 .1 ) г

цн, вероятность у

100

I

_

(?>о~ <ор-о,Ъ)

(X)

^

I

* £,

S-ioc-c,^ <0Л

С: 0,0Ъ1г

J

ice-"

\3^мсо-0,^-0,1г

Вероятность того, что число заявок лежит в пределах от 0 до 30,

находки

по Осрмуле (3 .5 .2 )

:

О

.ОС

'V L■

£ - < • !

ь с - ^0 , ьt \

р - и

c - i j A -Ь'Ъ

- о. ь

о

X

Ч^;и<^сЗгсЛ 1

P k 'l0 0 -b ,io p )]

1

9 . Определить вероятность того, что при 0000 бросаний играль­

ной кости частота выпадения пятерки

отклоняется

от

вероятности

не

более

чем

на

SO

Опыт

-

бросание

игральной кости. Всего

vx =

8000

Р е ш е н и е .

опытов.

В результате

i

опыта возможно

событие Л

- выпала

пятерка,

его

вероятность

.

,,

^

,л

произошло

m

раз,

тс

его

частота

равна:

.

*

т

дели

событие

v/r

О - г — г

.

*

•

S060

Согласно

условию

задачи,

должно быть:

6

<

О ^'нгт‘ 77 '

Отсюда

находим интервал

изменения \п :

1 4

«

id

( t ' f e >

SO°

4 n' U

t

+

8'o')'W C0,

О

ил m ^ 1ь

Искомой

вероятностью

является

величина

. где

J Sooo

S I

I

j

10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна

0,63 .

Сколько

выстрелов

нужно

произвести, чтобы с вероятностью

0,9 получить

не менее 10

О '

попаданий.

Р е ш е н и е .

Обозначим

Yi - искомое число выстрелов ( оно

более

10).

Событие J \ - попадание,

его вероятность

р *

0 ,6 3 .

Вероятность

промаха

С1Д ]-р

«

0 ,3 7 .

Число попаданий

по

должно

быть

в пределах от

1C до

п>

с

вероятностью 0 ,9 , т . е . у

-0,9.