Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 59
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+•OQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначив |
|
|
|
|
|
|
to |
и |
помня, |
что |
J |
£ w-olu..-\№ |
- |
ин |
|||||||||
П уассона, |
получим |
ок он ч а тел ь н о :^ |
|
|
|
*,.со |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ |
x |
W |
- - e T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К, |
Формулировка |
и доказател ьств о |
центральной |
предельной |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если независимые случайные |
величины |
Х-1)Х -1 — |
|
имеют |
один |
и |
|||||||||||||||||
то т |
же |
закон |
распределения, |
то |
при |
неограниченном |
увеличении |
чи |
|||||||||||||||
ла |
случайных |
величиной,- |
закон распределения |
их |
суммы-неограни |
||||||||||||||||||
ченно приближается к нормальному. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Имеем 4 |
-X,**” |
' |
|
ЗдесьX, |
|
|
- независимые и одинаково ра |
||||||||||||||||
деленные |
случайные |
величины, |
имеющие |
одно |
и |
то |
же |
математическое |
|||||||||||||||
ожидание |
Е*. |
, одну |
и |
ту |
же |
дисперсию |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Не снижая общности,можем |
принять, что |
|
Е ^ - 0 |
(для |
этого |
д оста т |
|||||||||||||||||
но |
начало |
отсч ет а |
принять |
в |
точке |
|
|
) , |
На |
основании |
теорем |
о |
|||||||||||
тематическом |
ожидании vl дисперсии |
имеем:- |
Е ( 4 ) - l v |
l c ^ |
- 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
3 ) 1 4 ) - h/Ф х |
и |
|
|
|
|
1 |
Поскольку |
|
все |
X |
i |
распределены |
од и |
||||||||||
наково', они имеют одну и ту |
же |
характеристическую |
функцию |
|
|
||||||||||||||||||
Представим |
ее |
разложенной |
по |
формуле |
Тейлора |
в |
окрестн ости |
точк |
|||||||||||||||
•t-О ’о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( . 0 - ^ 1 ° ) + ^ ( о ) t + - ^ Г -- Ь г + |
|
|
|
^ ’ |
|
|
( З .'ь 7 ) |
|
||||||||||||||
где |
о O s v t |
|
• |
|
|
|
|
|
- |
остаточный член |
формулы |
Тейлора |
|||||||||||
Полагая |
в |
равенстве |
( 3 04 05 ) |
Е - 0 |
, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
$ x ,W - |
\ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-* 025 |
|
|
обе |
части |
равенства |
( 3 ,4 . 5 ) |
по |
t |
и |
затем |
п |
||||||||||
Продифференцировав |
|||||||||||||||||||||||
жив |
t - 0 ^ , |
получим: |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
-) 1хьаЧ{.%)&% ~ ij х
Дважды |
продиффереицировав обе части рлзенотва ( 3 . 4 . 5 ) no Е |
и |
|
затем |
положив |
* находим: |
|
|
|
129 |
Чг СО |
О® |
jf.(jjJ |
lu)Y<tl*V<ta='5 (X'of(Ux)dx,:-((*-E^((x)dl3c.=-*x
-°° |
.00 |
Равенство |
( 3 . ^ .7 ) принимает вид: |
Поскольку Ч |
- |
сумма |
одинаково |
распределенных |
слагаемы х, т о её |
||||||
характеристическая |
функция |
|
|
|
равна: |
|
|||||
|
а / l\ |
— о |
'J |
ГI ^ She. а ** •.jL&dbJil |
|
|
|||||
Разделив |
~ |
~ 1‘ |
^ |
^ |
M |
*" i |
случайную величину |
||||
‘J |
на |
<Т^гСГ*лТъ |
, |
получим |
новую |
||||||
^ (Г%,\п» |
|
|
ожидание |
_ |
|
|
m |
равны: |
|||
Ее |
математическое |
Е g. |
и дисперсия |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ ft* |
|
Ha |
основании п ервого |
свой ств а |
характеристически х |
функций имеем* |
|||||||
“ 11 |
^ |
|
ы<£* |
|
и |
|
|
|
|
|
i t |
<И |
|
|
|
|
Д |
|
Логар ифмируя s |
получим: |
|
|
= a |
k |
|
n > |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«.и, |
>\(ге |
|
|
|
||
Вычислим |
предел : |
|
|
|
|
=, |
|
|
|
|
|
ь |
- |
|
|
|||
|
|
|
|
VI. |
|
|
|
|
~ щ \ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
К.-? «о |
|
П, -Ч со |
|
|
|
|
К * |
|
|
|
||||
z b cm |
L _ . A |
|
|
i - i i ^ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
K.-'f CCS к |
( * ) |
|
|
|
|
i * |
b [< ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С ледовательно, |
-Com |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
fu-^co |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Такой вид |
имеет |
характеристическая |
функция |
нормально р а сп р ед ел ен - |
||||||||||||||
ной |
случайной |
величины |
с нулевым |
математическим |
ожиданием |
и |
еди |
|||||||||||
ничной дисперсией» |
Так |
как |
Е г °® |
и |
|
|
, |
т\гъо -при^ со в за |
||||||||||
кон |
распределения |
J |
стрем ится |
к |
нормальному» |
П оскольку |
В |
е ст ь |
||||||||||
линейная |
|
функция |
|
случайного |
аргумента |
£ |
в то |
е ё |
закон |
расп р ед ел е |
||||||||
ния |
также |
стремится |
к |
нормальному* |
Теорема доказан а . |
|
|
|
||||||||||
У становлено, |
что |
с |
достаточной |
для |
практики точностью |
центральной |
||||||||||||
130
предельной теоремой можно воспользоваться, когда суммируется конеч
ное число (порядка десяти и более) |
случайных величин. При этом |
||
их законы распределения могут быть |
неодинаковыми. Необходимо лишь, |
||
чтобы |
все |
X l примерно одинаково |
влияли на их сумму. |
§ |
5е |
Формула Далласа |
|
В задаче о повторении опытов, при большом их числе, использо
вание формулы Бернулли становится неудобным ввиду трудоемкости
вычислений. Трудоемкость особенно возрастает, |
когда требуется най |
ти вероятность числа появлений события <А в |
заданном интервале. |
Центральная предельная теорема позволяет значительно облегчить вы числения.
Производится Д |
|
независимых |
опытов. |
В каждом из них может прои |
||||||||||
зойти одно из событий: |
|
или |
3 |
с |
вероятностями |
р |
и |
^ . |
||||||
Число появлений |
события |
J\ |
в |
O'* |
опыте |
есть |
|
случайная |
величина |
|||||
с |
вариантами |
|
и |
|
. |
Все |
|
Х { , |
независимы. тЛх матема |
|||||
тические |
ожидания |
и дисперсии -одинаковы |
и равны: |
|
* |
- t Г)3"' |
||||||||
Суша jV) |
f |
= р - |
. |
|
|
|
|
t |
° |
“ Р)Чсу - |
||||
's^X w , |
есть, |
случайная |
величина. Её |
математическое ожи |
||||||||||
дание и дисперсия равны: |
Е(М) - |
|
|
|
|
p t Р + ' * * Р - |
||||||||
X M V s3>lX ,+X ,+ -"-'t-X №) - P V ^ | , V |
* |
■■+ Р <у - |
|
|
|
|
|
|||||||
Каждый её вариант |
гг) есть |
число |
появлений события |
л |
в |
П/ опн- |
||||||||
тах, ибо количество единичных слагаемых равна этому числу, осталь-
ные слагаемые равны |
нулю. Случайная величина М |
является дискрет |
||||
ной. Однако её можем рассматривать как непрерывную с плотностью |
||||||
распределения |
Для этого достаточно положить, что событие |
|||||
М ^ Vy) |
равносильно |
попаданию |
И |
в единичный |
интервал с серединой |
|
в точке |
ho (рио. 3 |
.5 ,1 )* При |
этом вероятность |
|
варианта И z ho , |
|
определяемая формулой Бернулли, |
будет равна: |
|
|
|||
13 1
p u e .V iM .
|
|
132 |
|
|
L |
• |
M |
^ U 4 im x < u v n ) I. |
'*.- i
Поскольку H есть сумма большого числа одинаково распределенных
слагаемых# то её распределение близко к нормальному с математичес
ким ожиданием £ (М )-& 1р и средним |
квадратическим отклонением |
||||||||||
|
|
Определяя |
|
по формуле |
(З .'+ .З ), |
где |
вместо X |
||||
надо подстазить |
m |
9 и помняв |
что |
4/9 |
rvi |
, получаем |
формулу |
||||
1 |
|||||||||||
Лапласаг |
" |
|
|
0»«ам|то—ц«»0и| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ь |
|
|
|
|
|
(3 .5 .1 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тос |
что событие |
Л" |
произойдет |
|
не менее |
Сю |
раз и |
не |
более Ь |
||
раз |
равносильно |
попаданию и |
в |
интервал |
от |
(Х~^ |
до |
4 *^ |
|||
Следовательно
&& то 4 &
Н ^ - 1 < м ^ Ч ) ~ р ( о л и а )
JPn,
Используя формулу ( 3 . 0 ) вероятности попадания в заданный интер-
вал нормально распределенной случайной величины, получим;
Гл
AS . |
u l ■“ =!=■ - |
0 . 5 . 2 ) |
/ЧУ |
Формула ( 3 .5 .2 ) тоже называется формулой Лапласа
|
5 |
б 0 Закон редких |
явлений. |
(Закон |
Пуассона) |
i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
в |
задаче |
о повторении |
опытов событие tfi является |
редким/ |
||||
т*во |
его вероятность р |
очень |
мала, использование формулы Лапласа |
||||||
дает |
значительные |
погрешности» |
Формула |
Бернулли хорошо |
заменяется |
||||
в этом случае формулой Пуассона» |
|
|
|||||||
Лдя её |
вывода |
представим формулу Бернулли в следующем |
виде: |
||||||
|
|
т т |
|
Ъ |
|
- - . [ ^ " ( ^ 1-01 fogT. 11 *4? ^ |
|
||
|
|
|
|
|
|
1ГТ}1 |
|
rc |
|
|
|
ik .Jbd |
а •* |
.ik ^ L ^ lz iL . ( Hip)™ Л l~ |
rv |
|
|||
|
|
т Н |
|
||||||
|
|
|
|
|
К ' |
х |
J 4 |
|
|