Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

Определяя

О 104^ Уг)< П/

по формуле (3 .5 .2 ),

получим уравнение о

неизвестным Yy :

л

4 \4 tv o 1(1v o ln )

Ч \ ^ . о , ь * - ° . н

Уравнение

легко решить

следующим образом:

оь

7

\

Отсюда

И7Ю

ууо,ьfr-io

Л/ 0,8

' \',—.Лкъ-о,ь^>

/

0 , 8, если

По таблицам находим, что

=

^ ~

0 ,9 .

Следовательно,

Jv:°i

10 . - •■ 'Х.О.З

\j й,К'$кЬЪ ^

Решая это

уравнение и помня,

что

УПЮ , находим ft,

~ 20,6 .

Поскольку

число

*

есть

целое число,

необходимо

принять

выстрелов

П = 21.

I I .

Телефонная

станция,

обслуживающая

2000 абонентов, долж

между станциями, чтобы на'каждые

1

0

0

более одной

занятой линии.

Р е ш’е н и е . Время вызова,

сделанного...одним

абонентом, есть

того,

что

вызов произойдет в этом интервале,равна

.

Пусть

проведено

К

линий. На каждые 100 вызовов должно быть

не

более

одной

занятой

линии. Следовательно,

вероятность того ,

что

при вы-

зове

найдется

- г

будет

свободная линия,равна 0 ,9 9 . Сйбодная линия

в том случае, если в течение 2 минут вызов сделают не более К,

абонентов.

Таким образом, число К

должно быть найдено из равен-

ства

J

геоо

* 0 ,99, в котором

левая часть определяется по

формуле (3 .5 .2 )

:

'L

К - IOOO-Tg

-

f Q- ^OCQ- b0

'-0 ,5 3

IX i „.Г”"

i

ST\

Отсюда

fc- 2.000-

ta J \ - 0)3ft.

По

^‘Jt-iOCO

u v

toJ

0,98, если

i

= i,6 5 .

таблицам находим,

что

va,(J=

Следовательно,

У - loco ■Го

K s W ,* .

'/i-lUiOO-^oO'Ta)

Потребное число линий равно 86.

12.

Вероятность

допущения дефекта при производстве механиз-

•ма равна 0 ,4 .

Случайным образом

отбираются 500

механизмов. Уста­

новить величину наибольшего отклонения частоты дефекта от его ве­

роятности, которую можно гарантировать с

вероятностью 0,997.

Р е ш е н и е .

Опыт -

проверка качества механизма. Всего

^ = ‘500

опытов.

В результате

опыта возможно

событие

iA

-меха­

низм оказался с дефектом,

его

вероятность

р

= 0 ,4 .

Если

событие

sA

произошло

№

раз,

то

его частота (частота дефекта) равна:

р ‘ -

-jjj

. Если

Vfl

=

200,

то

р * - Тр.

Пусть

гг)

отклоняется

от 200

на

величину

К

. Обозначим:

200 - К *

в

Ckj

, 200 +

К

«

-fc . Найдем величину

К

из того условия, что­

бы число

По

было в

интервале

9 вероятностью 0,997.

Используя

формулу Лапласа,

будем

иметь:

(

ц { ( ~

-

IV

Vi-soc-o/Ui-AH)

^ иоолЧ *'0'4) у

•»

полученное равенство принимает вид:

Так как

,

л/

К

11

4\j’2.-yoo-0;4 (1-0^4)

По таблицам находим, что

* 0,997, если

J

« 2,10 .

Следова­

тельно ;

сопряжено с ошибками, которые могут быть

следующих трех видов.

I . Систематическая ошибка. Она вызывается

постоянным, одинаково

чайная

величина, распределенная

симметрично относительно нуля,

т .е . её

математическое ожидание

равно нулю и значения, равные по

предполагается,

что имеют место

только случайные ошибки.

а 2 Сценка

математического

ожидания

ниями) этих величин.

Обозначения; Гг (X) - сценка математического ожидания, а ш

- оцен­

дующими свойствами: несмещенность,

состоятельность, эффективность.

/>

(например, математического

1. Оценка ьL некоторого параметра

кое

ожидание

сценки равно

оцениваемому

параметру E(<jC)~ck.

2.

Оценка <L

параметра сЬ

называется

состоятельной, если она схо­

ла

опытов.

a

'N-

. .

, где

t

- ’любое

сколь

угодно ма-

{/Cm jp( |cL-c6 |< t ) ^

I

к —*юо

лое положительное

число

3.

Оценка <L

параметра

oL

называется

эффективной,

если

дисперсип

этой оценки

наименьшая

из всех

дисперсий

других оценок параметра.

\

Рассмотрим оценки математического ожидания и дисперсии.

Пусть изучается случа!ная величина X.

(например,

сопротивление

стали на разрыв, зависящее

от

множества факторов) .

Её математи-

ческое ожидание Ь ъ

(генеральное среднее), дисперсия

(гене­

ральная дисперсия), которые неизвестны.

Производится серия

измерений случайной зеличины

X в

количестве

Iг . Требуется найти оценки для £ % к

Результат каждого

•LC

случайная

величина

о

»тзмерения есть

(после того, как

измерение выполнено,

получен

её

вариант Й <1) .

му все случайные

величины

Х ё

независимы, имеют один и

тот

же

закон распределения, что и случайная величина X

> одну

и ту

же

дисперсию (D-jt,

одно и то же математическое ожидание

С х

. являющие

ся

математическим

ожиданием и дисперсией измеряемой

величины X .

Согласно теореме

Чебышева,

если

, то среднее измеренное-устой

чиьо и как

угодно

близко к Е х .

Практически Уь - число конечное и

часто весьма небольшое. Поэтому среднее измеренное (или среднее

выборочное)

Tj-

но

отличается

от Ь ъ ,

является

случай­

гой

величиной.

После того,

как

серия

измерений

выполнена, получен

ее

вариант

I _

ОС2,Чг ♦* * -г бС л

4 -

—1-------—— -— а •