Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

В треугольнике

суш а

двух

сторон

больше третьей„ Это выпол­

няется, если

взяты отрезки длиной 3 ,5 ,7 единиц

или Зр7,9

единиц

или 5 ,7 ,9

единицо

Следовательно,

событию

^

благоприятствуют

m -Ъ -

случая,

Искомая

вероятность

.

8,

Десять

книг на одной полке расставляются наудачу. Опреде­

лить вероятность того, что при

этом три определенные

книги окажут­

ся поставленными рядом.

Р е ш е н и е .

Имеющиеся

10 книг

можно

переставлять

между со ­

бой, отсюда

общее число

случаев равно

числу

перестановок

из

10

элементов.

„ о

Пусть

событие

Л

-

заданные три

книги

оказались поставлен­

ными рядом.

Заданные 3 книги могут занимать разные места среди остальных,

чйс£о таких истодов

равно числу перестановок из 8 элементов

J g .

Кроме^того, заданные

три

книги

можно переставлять

между собой, чис-

„••#1 .

•

у''

числу перестановок из 3

элементов.

ло &ак%х. исходов равно

v

•-Чу/

.

'

Отсюда,

число

случаев,

благоприятствующих

событию

.

Следователь но* р(>А) - * I

ОD

’■4

?10

9,

Четверо мужчин и четверо

женщин наудачу

занимают места

за круглым столом.

Найти вероятность

т о го ,

что лица

одного

пола

не займут места рядом.

Р е

ш е

н к е»

Событие

vA - мужчины и женщины чередуются.

Пусть места занумерованыр женщины заняли четные, мужчины -

не­

четные.

Если женщины будут меняться местами

друг

с другом,

то

женщин равно

числу перестановок из 4-х

элементов. Столько

же

возможно расположений мужчин.

Отсюда.

есть число расположений всех .лиц, когда

мужчины и женщины чередуются.

Чередование сохранится, если женщины займут нечетные, а муж­

чина четные

места.

Итак, число благоприятствующих случаев

Общее число случаев

к,

равно

числу перестановок

из восьми

элементов.

Искомая

вероятность

равна

р (^ ) ^

-

10.

Из имеющихся 20 деталей 16 изготовлены заводом I X, а

тыре

- заводом Л 2. Наудачу последовательно

берут 2 детали. Како­

ва вероятность, что хотя бы одна из них окажется изготовленной

заводом Л I

?

Р е ш*е

н и е . Пусть событие

п

ч

А

- среди взятых 2 деталей

хотя бы одна (безразлично одна или две) изготовлена заводом Л I .

Общее число случаев равно числу размещений из 20 элементов

по 2

г». -

- 5-0 ^

л

Найдем число случаев, благоприятствующих событию А .

Пусть первая взятая деталь изготовлена

заводом Л I , ею мо­

жет быть любая из шестнадцати, за

ней

может

следовать любая из

заводом

Л 2,

вторая -

заводом Л I . Если обе детали изготовлены

заводом

Л X,

то число таких исходов равно числу размещений из

16 по 2 элемента

t

типов.

Р е ш е н и е *

Число

всевозможных

случаев равно числу разме­

щений из

(.&•*{>)

элементов

по

2 %

К -

^Дсх*4 -

Событие ей

-

повреждены

изделия

разных типов* Оно произой­

д ет ,'

если

вначале

повреждено любое из

изделий, а

затем любое

из

4

изделий или наоборот.

Следовательно, число случаев, благоприятствующих

событию Л *

m -

l o t .

них

окажутся

5 мальчиков

и 2 девочки Ч

Р е ш е

н и е .

Общее

число

случаев равно числу

сочетаний из

27

элементов

по 7

Пусть событие

Л -

среди

выбранных 7 человек:

5 мальчиков

и 2 девочки.

.

Пять мальчиков могут

быть выбраш из 20 столькншз способа­

ми, сколько можно составить сочетаний из 20 цементов

по ^

т .е „

■L*0

* Две девочки из

7 могу?

быть выбраны столькими

способами„

сколько ножио составить сочетаний из 7 по 2 элемента;?.е. C-J*

Чтобы получить

группу

в

7

человек

из

5 мальчиков

ш 2 дево­

чек в

надо взять

первую пятерку

мальчиков с

каждой парой девочек„

таких случаев

л г

;

затем вторую пятерку

мальчиков

с

каждой ка­

Ц

рой девочек, таких случаев

L \

; .

-

• .

Наконец,

последнюю пятерку

мальчиков

с

каждой

парой

девочек, таких

случаев тоже

/. 1

^ .

г.

Отсюда число случаев,

благоприятствующих

событию Л

ч- (L г -

f

*

с;

-СЬ

-f

-

^

0,0

'-v

\ _____________—

С

искомая вероятность

Следовательно,

-

Р

*

L

V^CJV)

^*0

Г

L*

гг

13. Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю» 3 биле­

та стоимостью по три рубля :: 2 билета стоимостью по 5 рублей»

Наугад берутся 3 билета» Определитьs

а ) вероятность

тогр 5 что

три

взятые билета стоят в

сумме 7

рублей,

б ) вероятность того» что хотя бы 2 билета нз этих трех имеют оди­

наковую

стоимость о

Р е s e i s e , а ) Общее число случаев равно числу сочетаний

из 10 по

3

элемента

И ,-

С .

* V

Пусть

событие

Л

-

взятые

три

билета

стоят в сумме 7 рублей..

Go6h t :q

А

произойдет,

если

из

трех

выбранных билетов 2 ока­

жутся по

одному рублю и I

по пять рублей»

таких случаев С**С*

*

*

5L

случаев

CL»

Э

у)

0пгсюда

число

случаев, благоприятствующих событию.^-

|з{^)-

О

б ) «1.1 с,о

'■'to

Пусть событие «-А -

среди выбранных 3-х билетов хотя бы 2 имеют

одинаковую стоимость.

Найдем вероятность

противоположного

события J - среди

выбран­

ных нет билетов одинаковой стоимости, то есть выбран I билет по

одному рублю, I - по три рубля, I - по пять рублей»

Число случаев, благоприятствующих событию

•

Отсюда

«

-

л , . ,

л

pw-

Р 1^) ^ I"