Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 117
Скачиваний: 1
Г Л А В А II
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Усреднение систем стандартного вида. Теорема
|
|
|
Н. Н. Боголюбова. |
|
|
|
Теоремы |
о близости решений на конечном |
|
|
|
и бесконечном |
промежутках |
|
Напомним некоторые определения. |
||||
1. |
Пусть задана функция / (t). Средним значением этой функ |
|||
ции |
называется величина |
г |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пт |
J/(0 dt. |
|
|
|
Т * со т |
|
Среднее |
значение |
функции / (^) |
обозначается по-разному, на |
|
пример, |
/ или M t [/} и т . д. (В |
обозначении М ( {/} индекс t |
||
указывает на ту переменную, по которой ведется усреднение. Индекс t может быть опущен, если это не ведет к недоразуме нию). Итак, по определению, полагаем
т |
|
УИ( | / ]= 7 = Н т ф | } ( t ) d t . |
(11. 1. 1 ) |
Г-*°о п
Пусть / (t) — периодическая функция, представимая рядом Фурье
/ (*) = Яо + 2 ( а пcos nt + bn sin nt).
n= 1
Тогда согласно (II.1.1) находим
2it
6
Рассмотрим функцию двух переменных
/ (t, s) = е~1 sin2s.
Тогда, очевидно,
М , (/ (t, s)| = 0, M s (/ (1 ,5) ) = ^ - < Г г .
Естественным обобщением периодических функций являются ус ловно-периодические и почти-периодические функции. Условно-
16
периодическими называют функции, которые можно представить тригонометрическими полиномами или рядами вида
/(<>= |
2 |
|^ О |
|
|
|
|
|
| |Ч--- + | |
|
|
|
|
|
||
|
-------y k n со |
|
У |
|
|
||
|
1 |
п п |
|
|
|
||
где k { , , ... , k n — целые |
числа, P |
j |
— постоянные; |
шр ш2, |
, |
||
о я — фиксированные |
вещественные |
числа, |
удовлетворяющие |
ус |
|||
ловию |
|
|
|
|
|
|
|
К % + k 2 “г Н--------Ьk n шл ^ |
0 |
|
|
||||
при любых целых |
, ... , |
k n, не равных |
одновременно |
нулю. |
|||
Числа (Oj, со2, . . . , сол образуют частотный базис (спектр частот)
условно-периодической функции. |
|
|
|
|
Функция / (t) называется почти-периодической, |
если она не |
|||
прерывна на всей вещественной оси и для каждого |
в > 0 можно |
|||
указать такое число / = / |
(в) > О, |
что в каждом интервале |
длины |
|
I найдется хотя бы одно |
число |
т, для которого |
будет |
выпол |
няться неравенство |
|
|
|
|
|f { t + х) —f { t ) | < £. — оо < ^ < -f оо.
Можно показать, что для каждой почти-периодической функции существует конечное среднее
т
jW (/) = l i m 4 - f /(<)<«.
Г-оо 1 J
О
Более того, равномерно относительно а выполняются
М ( / ( < ) ) = Ж |/(<+а)} =
|
т |
|
?+а |
— Iim 4r Г / {t + a) dt = |
Пш -4- |
Г /(/) dt. |
|
T-+CQ 1 |
J |
Г-ОО 1 |
J |
(II. 1.2)
равенства
Можно |
показать далее, что |
Т + а (?) |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
М { / ( * ) } = Н ш 4- |
f |
(Н.1.3) |
|||
|
|
|
?-о о 1 |
,) |
|
|
|
|
|
|
а ( ? ) |
|
|
Полагая |
здесь а (Т) |
= |
— Т, |
находим |
|
|
|
|
|
|
о |
|
? |
|
М {/ (t) } |
= |
lim - i- |
(* f { t ) |
dt — lim -4- ^/ (£) dt. |
|
|
|
|
?-*•oo |
,) |
?-*-oo ■* |
.J |
|
|
|
|
- ? |
|
0 |
Пусть / ( 0 ,— почти-периодическая |
функция. Тогда при любом |
|||||
вещественном X определена |
функция |
|
||||
2-217 |
У Т сс . пуб.т |
' |
-> «rvm.’c |
17 |
В общей теории почти-периодических |
функций показывается, |
что |
||||||||||||
множество значений |
X, |
при которых |
а (X) ф 0, не более |
чем счет |
||||||||||
но, т. е. либо конечно, либо счетно. |
Числа Xj, Х2, |
... , |
X |
, |
||||||||||
удовлетворяющие условию а ( \ ) |
ф 0, |
k — \, 2, . . . , |
называют |
|||||||||||
показателями Фурье функции f ( t ) , |
а |
числа Ak = а ( Xft ) — коэф |
||||||||||||
фициентами Фурье этой функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким |
образом, |
почти-периодической функции f |
{t) |
можно |
||||||||||
поставить |
в соответствие |
ряд Фурье |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
* |
е а » t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л=о! |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Этот ряд |
можно записать и |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
а„ cos ( \ |
* + |
h |
) ■ |
|
|
|
||||
|
|
|
/ 2=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
среднее от / (£) |
не |
равно |
нулю, |
то -можно считать, |
что |
||||||||
Х0= 0 , |
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а { \ ) = а { 0 ) = М { / { Ь ) ) ф 0 .
При рассмотрении сходимости рядов Фурье почти-периодических функций возникает дополнительная трудность — показатели Фурье могут лежать всюду плотно и тогда не ясно, в каком порядке суммировать члены ряда Фурье.
Если ряд Фурье сходится абсолютно, то его члены можно суммировать в любом порядке. Чтобы сформулировать условия абсолютной сходимости ряда Фурье почти-периодической функ ции, введем определение: конечное или счетное множество дей
ствительных чисел (Xj, ... , ап называется |
линейно независимым, |
|
если не существует соотношение вида |
|
|
r i ai |
Г2 а2 “Ь ' ‘ * ~Ь г п ал = |
л = 1 , 2 ,... |
с рациональными, |
не равными одновременно нулю числами |
|
гг
'1 ’ ••• » ' п •
Если показатели |
Фурье |
почти-периодической функции ли |
|||||||
нейно |
независимы, |
то |
ряд Фурье |
для этой функции |
сходится |
||||
абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Перейдем |
теперь к усреднению |
систем дифференциальных |
||||||
уравнений. Рассмотрим систему вида |
|
|
|
||||||
|
|
х |
= |
е X |
(t, х), |
х |
(0) = |
х 0, |
(Н.1.4) |
где е > |
0 — малый |
параметр, |
х = |
{х х, ... , |
х п} — /г-мерный вектор. |
||||
Система (II.1.4) называется системой стандартного вида. (О при ведении заданной системы дифференциальных уравнений к стан дартному виду будет сказано ниже). Усреднение таких систем выполняется так: пусть существует среднее
18
Тогда системе (И. 1.4) ставится в соответствие система вида
|
Ё = е * 0Ш, S (0) = |
|
(ИЛ.6) |
|
которая называется усредненной. Задача заключается |
в |
том, |
||
чтобы установить |
близость решений систем’ (II.1.4) и |
(II.1.6) |
при |
|
достаточно малых е. При этом различают два случая: |
1) |
близость |
||
решений систем |
(II. 1.4) и (II.1.6) устанавливается |
на |
отрезке |
|
0 < * < L s _1 ; 2) близость решений указанных систем устанавли вается на бесконечном промежутке t < + оо. . " 1 Прежде чем переходить к обоснованию близости решений систем (II.1.4) и (IIЛ.6) как на конечном, так и на бесконечной промежутках, остановимся кратко на способах приведения систе мы дифференциальных уравнений к стандартному виду. Наиболее часто используемый способ заключается в применении метода
вариации произвольных постоянных. Пусть задана система
* = Л Г ( * , х , е), |
(И.1.7 ) |
где функция X (t, х, в) непрерывно дифференцируема ,пог ё на отрезке 0 < > < а . Предположим, что общее решение'.у = (ср (t,c) системы (IIЛ.7) при е = 0 известно. Тогда, применяя метод вариа ций произвольных постоянных, находим
/ ду Г |
1 Г |
dX(t,b s) |
- |
.о < В0< а. |
( дс ) |
[ |
дв |
|
Полученная система имеет стандартный вид. Если система (IIЛ.7) представима в виде
x = X t (t , х) + е Х 2 (t , X, е) |
(И. 1.8) |
и ср= ср (t, с) — общее решение уравнения
х = Х , ( ( , Л l*L==X t (t, с р ) ) ,
то, полагая в (Н.1 .8) х = у (t, с), находим уравнение для определения с (t):
с — в |
х 2 (t , ср, е) . |
Это уравнение имеет стандартный вид. Наконец, рассмотрим уравнение второго порядка вида
х + СО2JC = в / (х , х). |
-(П.1.9) |