Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

При больших я и т ( я<7) в предположении справедливости ги­ потезы л о удобно^использовать в качестве приближения для распре­ деления случайной величины т ( п - 1) W распределение х2 (я - 1).

Допустим, что все т ранжирований не содержат классов с одина­ ковыми номерами. В этом случае в предположении справедливости ги­ потезы г/0 в LoJ затабулировано точное распределение W для следующих

Пользуясь таблицами точных распределений, или же соответству­ ющими приближениями, можно, задавшись определенным уровнем значимости, построить критическую область для проверки справед­ ливости гипотезы Н0. Если значение статистики W попадет в эту кри­ тическую область, гипотеза Н0 отвергается с заданным уровнем зна-

и Ш Ѵ Л П Г 'Г Т .Г J r

Так, например, при достаточно большом числе экспертов (т-+ оо) и при числе объектов я > 7 мы можем, как указывалось, воспользо­

ваться фактом приближенной X2 («—1) - распределенности статисти­ ки т (я —1)Г. Поэтому нежелательную для нас гипотезу Н0 следует отвергнуть лишь в том случае, если окажется, что т (n— \)W > ХаХ X (я 1), где W подсчитанный по вышеприведенной формуле коэффи­ циент согласованности мнений всех экспертов, а %а(я—1)—100 а%-ная точках -распределения с п - 1 степенями свободы (находится из таблиц по заданной величине уровня значимости критерия а).

После предварительной обработки результатов экспертного ранжирования мьміереходим к выбору функции <p (X), а именно к выбору

вектора Ь — (blt b2, .... Ьр) (в дальнейшем, для удобства изложения, мы будем всюду иметь дело только с линейной аппроксимацией целевой функции). Для наилучшего выбора аппроксимирующей функции мо­

Пусть і} (b) — порядковый номер, приписанный /-му объекту при ис­ пользовании целевой функции фх (X ) со значением векторного пара­ метра, равным Ь. Вычислим коэффициент ранговой корреляции Спир-

2 №к)у + тМ + т(Ь)

Р<*> (&)=!■ ./= 1______________

я3 —3

Здесь d(fk) = \ i<;-k)~ij(b)\, а Т{Ь) - величина (5.2), вычисленная для ранжирования с помощью фх(Х). В качестве оценки для b нужно

При выборе фх (X) могут быть использованы и другие коэффициен­

ты ранговой корреляции, например коэффициент ранговой корреля­ ции т Кендалла, коэффициент конкордации и т. п.

8*

213

Остановимся теперь на других возможных вариантах информации о выходном качестве.

б) Разбиение объектов на классы как результат экспертного опроса.

Пусть т экспертами п объектов разбиты на классы (ЛД*>—число клас­

Для наилучшего выбора вектора коэффициентов Ь можно исполь­ зовать также так называемый «метод голосования», предложенный

Ю. И. Журавлевым (см. также § 3 главы I). При любом е > 0 с по-

р

мощью линейной функции ф2 (X) = 2 Ьі х(/) строится разбиение п

объектов следующим образом. Пусть в разбиениях классы занумерова­

ны и Р\к) і-й класс в k-м экспертном разбиении. Для любого объекта Xj подсчитывается величина

214

m

значения e, b, при которых 2 d(k) минимальна, найдем лучшие

оценки для вектора Ь.

в) Оценка объектов в баллах как результат экспертного опроса

Пусть теперь т экспертами произведена оценка в баллах п объек­ тов. Тогда для оценки вектора b в линейной аппроксимации (X) может быть использован метод наименьших квадратов. А именно,

В этом случае наилучшей оценкой для вектора b является вектор, минимизирующий величину

тп

Этот вектор находится как решение системы линейных уравнений

Если Ъе\к) = (а{к)У , то за оценку метода наименьших квадратов для вектора b берется вектор, минимизирующий величину

і= 1

П р и м е ч а н и е 1. Метод наименьших квадратов, вероятно, может быть использован для нахождения вектора b и в случае ранжи­ рования экспертами п объектов (случай а). При этом, полагая у} =

П

— 2 г’/'А). находится вектор Ь, минимизирующий

215

жировки объектов (случай а) наилучшим способом получения такого единого варианта является приписывание каждому объекту ранга, равного медиане ряда рангов, присвоенных ему всеми экспертами. Получение единого экспертного варианта в случае оценки объектов в баллах (случай е) состоит, как легко понять, в вычислении арифмети­ ческих средних оценок для каждого объекта, правда, лишь после ис­ ключения резко выделяющихся (некомпетентных) экспертных оценок.

4. Некоторые замечания по использованию экспертно-статистического метода

взадаче оптимизации структуры фондов потребления

За м е ч а н и е 1. Смысл и место целевой функции в задаче опти­ мизации структуры потребления. В данном случае целевую функцию

«функцию общественного благосостояния», по нашему мнению, не

следует интерпретировать как некую объективно существующую уни­ версальную характеристику благосостояния общества, но лишь как удобный вспомогательный аппроксимационный инструмент при ре­ шении задачи оптимизации структуры потребления.

При этом все этапы применения описанного здесь формального ап­ парата должны сопровождаться проведением подробнейшего полити­ ческого, экономического, социологического, психологического и биоло­ гического анализа различных аспектов этой сложной комплексной проблемы (при отборе стран — объектов обследования; при отборе входных параметров; при выборе общего вида аппроксимации и т. д.). В этом, как нам кажется, наша точка зрения близка к позиции, сфор­ мулированной в выводах работы [11].

З а м е ч а н и е 2. Требование однородности объектов по неучтен­

в самом широком смысле, ряд важных факторов и переменных остает­ ся при этом за рамками исследования. К таким факторам относятся политические, географические, психологические, историко-этногра­ фические и другие характеристики стран. Поэтому для того, чтобы пред­ лагаемый метод был эффективным, необходимо потребовать, чтобы он применялся лишь к совокупности стран, приблизительно однородных с точки зрения упомянутых выше неучтенных факторов. Во всяком случае, бессмысленно было бы сопоставлять с помощью экспертно­ статистической аппроксимации целевой функции страны различных формаций, скажем, социалистические и капиталистические.

З а м е ч а н и е 3. О выборе входных параметров. Трудности ре­ ализации экспертно-статистического метода в данной задаче.

При выборе входных параметров приходится одновременно считать­ ся с двумя противоречивыми требованиями. С одной стороны, для до­ статочно полной характеристики структуры потребления, ее прогрес­ сивности желательна весьма насыщенная система показателей, отра­ жающих соотношение отдельных частей потребления на разных

216