Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

Специфика рассматриваемой здесь схемы, ее отличие от классиче­ ских регрессионных моделей в том, что упомянутое выше выходное качество у, как правило, не поддается непосредственному количествен­ ному измерению, для него не существует (в данный момент) объективно обусловленной шкалы. Как правило, информация, которую человек в подобных ситуациях может извлечь относительно выходного ка­ чества у, это соотношение порядка, а именно: для заданных п объектов тем или иным способом проранжировать их характеристики, выходного качества, например, в порядке убывания, т. е. получить подстановку вида

хуже) всех остальных объектов, с точки зрения анализируемого вы­ ходного качества, за ним идет объект с порядковым номером і2 и т. д.

Если выходное качество у все-таки имеет количественную природу (т. е. налицо существование определенной шкалы в измерении у), то знак >- в (5.1) может быть заменен обычным знаком а сформули­ рованное выше допущение об определяющей роли входных параметров х (І), ..., х(р) может быть формализовано с помощью модели

г/=/(х(>), ..., х<р>) + 6.

Здесь f {х ^\ ..., х<р))— некоторая функция от входных параметров, а б — остаточная случайная компонента, учитывающая, в частности, влияние множества факторов, не вошедших в состав входных парамет­ ров, и не зависящая от х О .......х(р>. Будем в дальнейшем обозначать

сохраняющее заданное соотношение порядка для усредненных зна­

208

с необходимостью следует выполнение неравенств

и наоборот, из последней серии неравенств с необходимостью вытекает выполнение соответствующих неравенств для Kife. Очевидно, данное

здесь определение целевой функции неоднозначно. Действительно, если cp (X) есть целевая функция и (/ (ф) — любая взаимно-однознач­ ная монотонно возрастающая функция, то всякая функция вида

занный с ее выявлением. Ведь в соответствии с данным определением, само значение целевой функции не отражает никакой реальной, физи­ чески содержательной количественной закономерности. Реальные зако­ номерности отражаются только соотношениями «больше» или «меньше» между значениями этой функции для различных наборов величин вход­ ных параметров X = (лД), ..., х<р)). Тем самым эти соотношения отражают предпочтение с точки зрения анализируемого выходного качества одних значений X перед другими. Поэтому в задачах, в ко­ торых возможно регулирование значений X (в некоторой допустимой области), наиболее рациональным управлением естественно признать то, которое максимизирует, при заданных ограничениях на X, зна­ чения целевой функции.

Заметим, кстати, что данное здесь общее определение целевой функции допускает ее содержательную социально-экономическую ин­ терпретацию в качестве различных глобальных и частичных целевых функций потребления, используемых и интенсивно обсуждаемых в ря­ де наиболее интересных, с нашей точки зрения, работ современных эко­ номистов [1] — [4], [6], [7], [9], [10].

2. Исходные статистические данные по входным параметрам

Предварительный выбор входных параметров производится экс­ пертным путем после четкого определения конечных целей исследо­ вания и, в частности, — понятия интересующего нас .выходного ка­ чества. Как правило, предварительный набор входных параметров бывает чрезмерно обширным (слишком велико общее число входных параметров р), что порождает значительные вычислительные и интер­ претационные трудности. Поэтому до проведения соответствующего статистического обследования объектов требуется произвести тщатель­ ный экспертно-профессиональный анализ по отбору небольшого числа наиболее информативных (с точки зрения их влияния на исследуемое выходное качество) входных параметров.

Результаты произведенного затем статистического обследования объектов могут быть сведены в табл. 5.2.

да полезно произвести так называемую процедуру уравновешивания

можно использовать, например, алгоритм, предложенный в [5J. Подоб­ ная нормировка приводит исходную матрицу к виду, как правило, более удобному с точки зрения различных вычислительных процедур, а также с точки зрения всякого рода сопоставлений и геометрической интерпретации результатов исследования (в случаях р 3). Будем считать в дальнейшем, что матрица исходных данных G уже прошла процедуру уравновешивания элементов. Очень важным предваритель­ ным этапом исследования является максимально возможное снижение размерности факторного пространства, т. е. определение небольшого числа наиболее информативных входных параметров. Если выше­ упомянутый экспертно-профессиональный анализ оказался недоста­ точным для решения этой задачи (общее число р входных параметров осталось чрезмерно большим, например, соизмеримым или даже пре­ восходящим число обследуемых объектов п), то целесообразно при­ бегнуть к помощи различных формальных методов, описанных, в част­ ности, в предыдущей главе.

3. Выбор общего вида аппроксимации для целевой функции. Использование экспертных данных для оценивания неизвестных параметров аппроксимирующей функции

Процесс параметризации задачи заключается в выборе общего вида целевой функции. Этот выбор, как правило, не удается подкрепить исчерпывающим теоретическим обоснованием, а потому с этого момента мы имеем дело не с целевой функцией cp (X), а с некоторой ее аппрок­

симацией ф (X). Это не должно смущать исследователя. Напротив, оперирование с аппроксимацией избавляет нас от необходимости по­ стулирования существования самой целевой функции (что в ряде ситуаций является весьма спорным моментом): в то время как сама целевая функция как объективно существующая универсальная ска­ лярная характеристика выходного качества может и не существовать, ее аппроксимация имеет определенный условный смысл и может плодо­

210

При обработке экспертных данных необходимо произвести провер­ ку компетентности выбранного круга экспертов и, в частности, произ­ вести проверку гипотезы Н0, заключающейся в том, что все возможные варианты ранжирований равновероятны. Эта гипотеза означает, что каждый эксперт с равной вероятностью выбирает любое из возможных ранжирований, и результаты ранжирований не отражают никакого объективного упорядочивания.

Проверка гипотезы Н0 производится следующим образом. Рассмот­ рим k-ю строку табл. 5.3, т. е. вариант ранжирования k-м экспертом п объектов. Пусть при этом ранжировании объекты разбиваются на N упорядоченных классов, в каждый класс входят объекты с одинако­

вым порядковым номером. Обозначим через Р[к), ..., Р\к) классы, содер­

жащие более чем один элемент, а через t\k\ ..., t\k*— число элементов

в каждом из этих классов соответственно. Определим для k-ro ранжи­ рования величину

Подсчитаем далее статистику, численное значение которой характе­ ризует степень согласованности мнений всех экспертов, так называе­ мый коэффициент конкордации (согласованности) Кендалла:

X2-S

т2 (п3—п)

где

Заметим, кстати, что максимальное значение коэффициента конкорда­

212