Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
Свойства АС выражаются амплитудно-фазовой характери стикой замкнутой системы:
|
Ф (р)) = Рф (с»)-г /Сф (со)— Ф (со) е ' 0< |
(5.4) |
|
где Рф {о ) — вещественная частотная характеристика |
замкну |
||
|
той системы; |
характеристика; |
|
С}Ф (со) — мнимая частотная |
|
||
Ф (со) |
— амплитудно-частотная характеристика; |
|
|
■сф (со) |
— фазо-частотная характеристика. |
|
|
Для определения переходной |
характеристики согласно вы |
||
ражению (5.3) необходимо знать спектральную плотность вход ного сигнала (единичной функции) и амплитудно-фазовую характеристику системы Ф{ усо) (5.4).
Спектральная плотность единичной функции определяется обычным порядком:
— получают изображение единичной функции по Лапла
су L [1(0] = у ;
— заменой р на /со находят спектральную плотность:
Sbx(/“ )= - J -- |
|
(5-5) |
|
Подставляя выражения (5.4) и (5.5) в формулу (5.3), опре |
|||
деляем выходной сигнал системы, который и будет |
переходной |
||
характеристикой системы, |
так как на вход ее подана |
единич |
|
ная функция. |
подстановки и заменив |
в |
выраже |
Произведя указанные |
|||
нии (o.3)eJa,l=cos<ot+jsin u>t, получим
_1
Л(0 = 2
2;
IРФ(о>)+/ Qo> (со)] (cos ш^-г/sin<o i) dm=
Рф (со) |
sin соt- |
0.Фи |
COS соt |
da — |
|
|
|
|
0) |
|
|
|
|
Рф(со) |
, |
С[ф (со) . |
, |
da. |
(5.6) |
|
соv |
-cosco^— ^ со |
' sin wt |
||||
В выражении (5.6) подынтегральная функция первого инте грала четная, поэтому нижний предел можно взять равным нулю и удвоить, значение интеграла.
Подынтегральная функция второго интеграла (мнимая ча стотная характеристика)— нечетная функция частоты. Поэто му второй интеграл равен нулю, как.интеграл от нечетной функ ции в симметричных пределах (иначе не может быть, так как /г(г1) — вещественная функция).
S7
З н а ч и т,
h (t)=— |
l |
^Ф^ |
cos wt fifoH—5- l |
Sin at dm. |
(5.7) |
77 |
J |
CO |
77 J |
0 |
|
|
U |
|
О |
|
|
Подставим в полученное выражение t со знаком минус. Поскольку h {—t) =0 (воздействие 1(t) приложено в момент i = 0), то
0 = |
1 |
Q0 (со) |
1 |
7‘ |
Рф (10) |
, , |
-----w |
\——-— cosco^rfco-------- |
- |
---------J |
— |
smWflfco. |
|
|
J ш |
(о |
|
|||
|
|
о |
|
и |
|
|
0.
(5.8)
Складывая уравнения (5.7) |
и (5.8), получаем |
выраже |
ние h(t) через мнимую частотную характеристику системы: |
||
h (0 = ~~ j |
сos t01 da. |
(5.9) |
о |
|
|
Вычитая из формулы (5.7) выражение (5.8). получаем пере ходную характеристику через вещественную частотную харак теристику системы (ВЧХ):
h(t)= — |
Г Рф(ю) sin (of da. |
(5.10) |
|
77 |
J 0) |
|
|
|
0 |
|
|
На практике обычно пользуются выражением (5.1C). |
|
||
Таким образом, зная вещественную |
частотную характери |
||
стику ВЧХ замкнутой системы Рф(ю), |
путем вычисления |
инте |
|
грала (5.10) можно найти переходную характеристику системы и, следовательно, все интересующие параметры переходного процесса. Прямое определение интеграла (5.10) сложно, поэто му для построения переходной характеристики применяют предложенный профессором В. В. Солодовниковым приближен ный метод трапецеидальных вещественных частотных характе ристик без вычисления интеграла.
§о.З. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СПОМОЩЬЮ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
В основу приближенного метода построения переходной характеристики с помощью трапецеидальных ВЧХ замкнутой системы положено выражение (5.10).
Если ВЧХ замкнутой системы Рф(со) определена, то можно найти кривую переходного процесса h(t) и по ней — все показа тели качества.
Приближенный метод построения h(t) основан на свойствах ВЧХ и ее связи с переходным процессом. В частности, исполь зуются следующие свойства:
SS
1. Достаточно близким вещественным частотным характери
стикам соответствуют близкие переходные |
процессы, т. |
е. для |
|
получения |
приближенной переходной характеристики h {t) |
моле |
|
но пользоваться приближенной ВЧХ Р ф (w). |
может быть |
пред |
|
2. Если ВЧХ замкнутой системы Рф{со) |
|||
ставлена |
в виде |
|
|
|
П |
|
|
|
Рф(со)=У Рг(ш), |
|
(5.11) |
|
««л |
|
|
то переходная характеристика h{t) также может быть представ лена в виде
П |
|
|
М 0 = £ А ,(0 - |
(5.12) |
|
/=1 |
|
|
Значение этого свойства состоит |
в |
том, что, если Рф(со) си |
стемы представить в виде суммы |
элементарных ВЧХ Pt (со), |
|
для каждой из которых переходная |
характеристика /г; (0 мо |
|
жет быть определена, то переходная характеристика всей систе
мы h (t) находится при |
помощи |
простого |
суммирования |
кри |
вых h-,(t). |
|
|
|
|
3. Если увеличить (уменьшить) |
масштаб |
ВЧХ по оси орди |
||
нат в а раз, то масштаб |
кривой |
переходного процесса |
вдоль |
|
той же оси увеличится (уменьшится) в то же число раз. |
|
|||
4.Если увеличить (уменьшить) масштаб ВЧХ по оси абсцисс
ва раз, то масштаб кривой переходного процесса вдоль той лее осп уменьшится (увеличится) в то лее число раз.
5..Качество переходного процесса системы в основном опре-. деляется ВЧХ в интервале существенных частот, отбрасыва емый «хвост» при Р ф{ ы) <0,1 Р ф{0) влияет лишь на начальную часть переходного процесса.
Из сказанного ранее ясно, что для построения •кривой пере ходного процесса необходимо тем или иным способом получить вещественную частотную характеристику замкнутой системы. Получение этой характеристики возможно различными путями.
Чаще всего в качестве исходных |
данных для получения ВЧХ, |
а в последующем и построения |
кривой переходного процесса |
используются логарифмические амплитудная и (разовая частот ные характеристики разомкнутой системы (ЛАЧХ и ЛФЧХ). В этом случае построение переходной характеристики разби вается на два этапа:
— построение вещественной частотной характеристики замкнутой системы Рф{to) по логарифмическим частотным ха рактеристикам разомкнутой системы;
— построение кривой переходного процесса по ВЧХ замкну той системы.
89
Построение вещественной частотной характеристики замкнутой системы Р ф(со) по ЛЧХ разомкнутой системы
В соответствии с этим методом построение Рф(со) произво дится с помощью специальной номограммы, представляющей собой семейство кривых постоянных значений Р Ф{ы) в плоско сти координат L (со), ср(со).
Исходным при построении номограммы является выра
жение: |
|
|
|
|
Ф(/со) |
№(/со1 |
|
(5.13) |
|
1+ 117 (/со) |
’ |
|||
|
|
которое после преобразования приобретает вид
W (ш) cos © (u>) [ 1—2 Рф(ш)] = W- (со) [Рф(со)— 1] \г р ф(ш). (5.1-1)
Выражение (5.14) для Рф(о>) = const является уравнением кривой W (ш) = / [ср(со) ] на плоскости, где по оси ординат откла дываются значения L (ы) =20 lg \V(lo) , а по оси абсцисс — зна чения ф(ш).
Построив семейство кривых для ряда значений РФ(ш), полу чим номограмму (рис. 5.2), позволяющую найти ВЧХ замкну той системы по ес ЛЧХ в разомкнутом состоянии.
Для определения РФ(со) предварительно строят логарифми ческие амплитудную и фазовую характеристики разомкнутой системы ЛАЧХ и ЛФЧХ. Применительно к АС. изображенной на рис. 1.5. ЛЧХ представлены па рис. 4.12. Эти характеристики по точкам, соответствующим определенным (выбранным) ча стотам, переносят на номограмму (рис. 5.2).
Для |
переноса |
точки, |
соответствующей |
какой-либо |
часто |
||||
те со,-, определяются значение |
Z- (со,-) по ЛАЧХ и значение (со,) |
||||||||
но ЛФЧХ. Эти значения откладываются |
соответственно |
по оси |
|||||||
ординат и по оси |
абсцисс |
на |
номограмме |
(рис. 5.2). |
Точка с |
||||
координатами |
L (со;) и © (со,) |
и |
будет являться искомой точкой |
||||||
на частоте сог . Число частот должно быть таким, чтобы |
можно |
||||||||
было построить |
кривую на |
номограмме с достаточной точ |
|||||||
ностью. |
Полученная кривая |
является |
логарифмической АФХ |
||||||
разомкнутой |
АС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения кривых Р Ф(со) = const, с которыми пересекается логарифмическая АФХ, являются ординатами РФ(ш) на часто тах, соответствующих точкам пересечения. Снимая значе ния РФ(со) с номограммы (используя метод экстраполяции) и откладывая их по оси ординат РФ(ы) для соответствующих ча стот, получаем искомую ВЧХ замкнутой системы (рис. 5.3).
SO