Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf

Вмле й м а. 4 £А?А ПВО, j*«. 899

Рис.. S~./ /

_ Т аблица5 .2 ПередаточныфункцииеW { р ) ц ЛАЧЧ L(a)j

Ш ГИТТОВДО АС С АСТАТИЗМОМ

Необходимые входные данные для обращения' к номограммам определим по ЛАЧХ системы (см. рис. 4.11):

(Oj = 5; и>3 = 10; <а3 = 50; и>ср = 42; L = 25 дб;

Находим:

кратчайшее вре-мя дт-рн .наименьшем перерегулировании. Идеальной кривой переходного процесса, удовлетворяющей

этим условиям, будет крив-ая, совпадающая по форме с кривой управляющего сигнала. "

При ступенчатом единичном воздействии на входе идеаль­ ная кривая переходного процесса также будет ступенчатой, т. е. переходный процесс фактически отсутствует. Очевидно, что сте­

характеризуемом степенью приближения действительной кри­

действия. имеют знак, противоположный знаку площадей, рас­ положенных’ под линией (рис. 5.12,6), приведенный..критерий

100

■является недостаточным. Так, например, при наличии на выхо­ де незатухающих колебаний система является практически не­ пригодной, а интеграл (5.16) равен нулю, что соответствует идеальному переходному процессу.

Наиболее общим критерием язляется квадратичная инте­ гральная оценка

(5.17)

О

Выражение (5.17) характеризует интегральную оценку, не­ зависящую от знаков отклонений и пригодную как для аперио­ дических, так и- для колебательных процессов. Интегральные оценки / 1 и А могут служить лишь для относительного сравне­ ния переходных процессов АС. Если, например, для каких-либо

неустойчивой и при изменении внешнего или задающего воздей­ ствия переходит в режим автоколебаний.

Таким образом, под устойчивостью автоматической системы понимают свойство системы возвращаться к состоянию устойчи­ вого равновесия (исходного или нового) после прекращения воздействия, которое вывело ее из этого состояния.

Очевидно, что только устойчивая АС может выполнить воз­ ложенные на нее задачи по управлению объектом.

Физическая сущность возникновения незатухающих колеба­ ний в АС связана с наличием в системе элементов (звеньев), вносящих запаздывание. Это запаздывание может привести к тому, что сигнал главной обратной связи, подаваемый на вход системы, совпадет по фазе (или по полярности) с управляющим воздействием. Обратная связь в этом случае из отрицательной станет положительной. Если при этом коэффициент усиления системы будет больше единицы, то в ней возникают амплитуд­ ные и фазовые условия самовозбуждения.

Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны академиком А. М. Ляпуновым в 1892 году в его работе «Общая задача об устойчивости движения».

101

Уравнение движения замкнутой системы в операторной форме записывается в виде

(с,, /;" -ус„_, р" ~1-у... -f t'i р -f с0)у (р) =

= f ]", J r b m _1 р т ~ х р - г Ь 0) х { р ) (5. 18>

или в сокращенном виде

Как известно, общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет две составляющие: выпуждепную у р(0 и свободную у „ ((), т. е.

Составляющая свободных (собственных) движении системы представляет решение однородного уравнения, не зависит от управляющего воздействия и определяет характер переходного процесса в системе (затухающий или незатухающий).

Система будет устойчивой в том случае, если составляющая свободных движений системы с течением времени затухает, т. е.

Из изложенного следует, что при определении устойчивости замкнутой линейной АС необходимо выяснить только характер изменения составляющей свободных движений системы, т. е. решить однородное уравнение замкнутой системы:

Так как в уравнении (5.21) правая часть равна нулю, то. значения его корней не зависят от характера управляющего воздействия и начальных условий, а определяются только соот­ ношением коэффициентов сп,с „ -1 ,..., св, ct, со уравнения движе­ ния АС. т. е. определяется параметрами самой системы (по­ стоянными времени отдельных звеньев, коэффициентами усиле­ ния). А это означает, что устойчивость замкнутой АС зависит только от ее параметров.

Для определения устойчивости системы следует проанали­ зировать значения корней характеристического уравнения

В устойчивой системе все вещественные корни и веществен­ ные части комплексных корней характеристического уравнения.

1(12

лексных сопряженных корней имеет положительную веществен­ ную часть, является неустойчивой (рис. 5.13.6).

Если хотя бы один вещественный корень равен нулю или пара комплексных сопряженных корней имеет вещественную часть, равную нулю, то система будет находиться на грани устойчивости (рис. 5.13. е).

Ь

©

Рис. 5.13

Таким образом, если известны корни характеристического уравнения замкнутой АС или их расположение на комплексной плоскости, то вопрос об ее устойчивости решен. Однако корни уравнений высоких степеней находить трудно, тем более что для уравнений выше чегтвертой степени они вообще не выража­ ются в виде формул через коэффициенты уравнения.

Для того, чтобы не определять корни характеристического уравнения, разработаны косвенные методы, позволяющие ана­ лизировать устойчивость системы без решения характеристиче­ ского уравнения. Эти методы носят название критериев устой­ чивости. К ним относятся критерий Гурвица. критерий Михай­ лова. критерий Найквиста и основанный на его использовании метод логарифмических частотных характеристик.

Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста явля стся частотными, а критерий Гурвица — алгебраическим.

§ 5.6. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ Л\ИХАИЛОВА

Критерий устойчивости Михайлова предложен в 1938 году. Он формулируется следующим образом: автоматическая систе­ ма будет устойчива^ если при изменении частоты со от 0 до -

•.годограф вектора C(/tо) (годограф Михайлова) повернется на

103

угол п— (где ii — степень характеристического уравнения

замкнутой АС) или. что одно и то же, если годограф при изме­ нении частоты от 0 до ос, начав движение с положительной действительной оси. двигаясь только в положительном направ­ лении п нигде не обращаясь в нуль, последовательно пройдет и квадрантов комплексной плоскости.

Па рис. 5.14 изображены годографы Михайлова для устой­ чивых АС, описываемых уравнениями 1, 2, 3, 4 и 5-го порядков.

АС будет находиться на границе устойчивости, если годо­ граф Михайлова при некотором значении частоты со = сокр пере­ секает начало координат, обходя при этом п — 1 квадрантов.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения замкнутой АС окажется в правой полуплоскости, что соответ­ ствует неустойчивости АС, то вектор повернется на угол, мень­

104