Файл: Аграчев, Г. С. Основы автоматического управления учебник для высших военных командных учебных заведений Войск ПВО страны.pdf

Метод позволяет судить об устойчивости замкнутой АС по логарифмическим амплитудно-частотной и фазо-частотной ха­ рактеристикам разомкнутой системы. .Метод наиболее простой* наглядный и широко применяется на практике.

Покажем метод определения устойчивости системы для слу­ чая, когда АС в разомкнутом состоянии устойчива.

Условие устойчивости для таких систем вытекает из правила о числе переходов: система автоматического управления, устой­ чивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом

Рис 5.21

111

Для систем, у которых ЛФЧХ пересекает линию — 180° толь­ ко один раз, это же условие устойчивости можно сформулиро­

теристики двух систем, которые отличаются друг ог друга толь­ ко коэффициентами усиления. Логарифмические амплитудночастотные характеристики систем сдвинуты одна относительно другой по вертикали, а фазо-частотные характеристики совпа­ дают.

Из характеристик видно, что система I с коэффициентом усиления устойчива, а система II с коэффициентом усиле­ ния k2 неустойчива.

Действительно, при выполнении требования устойчивости (система I) на частотах -со< шср коэффициент усиления системы больше единицы /гД>1 (соблюдается амплитудное условие само­ возбуждения), но отрицательный сдвиг по фазе меньше 180°, обратная связь остается отрицательной и не соблюдается фазо­ вое условие самовозбуждения; на частотах ю>(оср коэффи­

циент усиления системы меньше единицы и не соблюдается амплитудное условие самовозбуждения.

112

В системах, где не выполняется требование устойчивости (система II), имеется зона частот, в которой &>1. а |'-?|)>180°, т. е. соблюдаются амплитудное и фазовое условия самовозбуж­ дения.

Из характеристик (рис. 5.22) видно также, что с увеличе­ нием коэффициента усиления и отрицательного сдвига по фазе система приближается к неустойчивой.

По ЛЧХ запас устойчивости по амплитуде б дб определяется как взятое с обратным знаком значение ординаты ЛАЧХ на частоте, при которой ср(со)= — 180°.

Запас устойчивости по фазе у° определяется как разность между 180° и абсолютным значением ординаты ЛФЧХ на ча­ стоте среза (,оСр.

На рис. 5.22 показано определение запасов устойчивости по амплитуде и фазе.

С помощью ЛЧХ может быть также определен предельный коэффициент усиления системы £npC4, при котором система на­ ходится на грани устойчивости.

Запасы устойчивости по амплитуде и фазе могут использо­ ваться для ориентировочной оценки переходного процесса си­ стемы.

Имеются табличные зависимости, показывающие прибли­ женно связьосновных показателей качества переходного режи­ ма с запасами устойчивости системы.

Анализ переходного режима АС показывает, что для обеспе­ чения устойчивости и улучшения качества переходного процес­ са в ней необходимо или уменьшить коэффициент усиления, или

рис. 1.5, можно определить, что данная АС является устойчивой и имеет за­ пасы устойчивости у=>30°; 6 —12 дб-, к.-ипрсж я 360 сек- 1 .

§ 5.9. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА

Критерий устойчивости Гурвица позволяет судить об устой­ чивости замкнутой системы по коэффициентам ее характеристи­ ческого уравнения. Критерий имеет форму неравенств, кото­ рым должны удовлетворять коэффициенты ct характеристиче­ ского уравнения замкнутой системы (5.22), и может быть сфор­ мулирован следующим образом: для того, чтобы замкнутая АС, описываемая дифференциальным уравнением я-й степени, была устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, необходимо и доста­ точно, чтобы при с „> 0 все я определителей Гурвица были боль­ ше нуля.

Определители Гурвица составляются из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы (5.22). Исходным является главный определитель Ль который содер­ жит п столбцов и п строк. Он составляется следующим образом: по главной диагонали выписываются коэффициенты характери­ стического уравнения в порядке индексов от Со до c„ii, правее главной диагонали все строки заполняются коэффициентами по убывающим индексам, а левее — по возрастающим индексам. Оставшиеся пустые места заполняются нулями.

остальные определители: Л2, Лз...... An-i, А„. Определитель Л„ равен коэффициенту уравнения с„_ь

и т. д. Это — необходимое и достаточное условие устойчивости системы.

ского уравнения какой-либо коэффициент равен нулю или отри­ цателен, то система будет неустойчивой.

Критерий находит практическое применение при определе­ нии устойчивости АС, описываемых дифференциальными урав­ нениями не выше четвертой степени.

Для АС, описываемых уравнениями более высоких степеней, используются таблицы, в которых показаны неравенства, опре­ деляющие устойчивость системы (например, таблицы Рауса).