Файл: Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]..pdf

Размер х каждой детали в исходном процессе может быть представлен суммой

х = х ~(- у,

где у — случайное отклонение размера детали от уровня настройки, характеризующее мгновенную точность процесса обработки; рас­ пределяется по нормальному закону с параметрами омг и М(у) = 0.

Рассмотрим процесс обработки с подналадкой. Подача под­ наладочных импульсов приводит к смещению уровня настройки х, не оказывая влияния на случайную составляющую х. Сумму размера первоначальной настройки и составляющей смещения уровня настройки, определяемой совместным проявлением под­ наладочных импульсов и износа инструмента, обозначим через £. Таким образом, размеры деталей, обработанных с подналадкой, можно рассматривать как сумму трех величин:

я = ж + Т + ^

Результирующее распределение размеров деталей можно опре­ делить как композицию нормальных законов для случайных величин у и х и закона распределения величины £. Заменим случайные величины у и ж случайной величиной (3, равной их сумме и распределенной по нормальному закону с параметрами

При этом [5] может подаваться импульс на подналадку в плюс с вероятностью

*4*1г

и в минус — с вероятностью

^ (^ Г = 0.5 + Ф0 (-g .).

хt 2

где Фд (х) = -J=- Г е 2 dt — нормированная функция Лапласа; an —

v27t J

о

среднеквадратическая погрешность контрольно-измерительной си­

96

щей подналадке в каждом цикле происходит изменение значения величины Ена X в одну сторону и на величину импульса / в ту или иную сторону. Составим уравнение, определяющее функцию условного распределения Р(Е/|3).

Пусть кривая на рис. 1 является частью дифференциальной кривой распределения. Тогда вероятность попадания величины

при этом положительного импульса можно представить как ус­ ловную вероятность получения положительного импульса при

Это же событие можно осуществить и в том случае, если значе­ ние Епопадает в интервал [Е+/+Х; E+Z+X+dE] и подается от­ рицательный импульс. Вероятность такого события

Р[(% + 1 + ЩЛ<К 0,5+ Ф0( i ± l ± i ± ! i . )

Полная вероятность попадания значения величины Ев интервал

97

Решение полученного уравнения будем искать в виде ^Р(Р+Е). Предварительно для удобства записи условимся под символом Р (5) понимать функцию Р([3+£). Для упрощения вычислений заменим значение переменной £ в уравнении (3) на ( I—X). Тогда

процессов обработки деталей на алмазно-расточных и шлифо­ вальных станках. В результате получим

0,5Р" (?) {х* - Р + Р [ф0 ( i — l ) - Ф0 (.

- Р ' В { / К ( ^ ) + ф. ( Ш ) ] + * } +

Приведенное линейное дифференциальное уравнение с пере­ менными коэффициентами и с граничными (краевыми ) условиями решалось на АВМ. Решения проводились при значениях сп = = 1/3 мкм, I — от 0,3 до 0,8 мкм с шагом 0,1 мкм, X— от 0,1 до

—0,1 мкм с таким же шагом. Полученные решения аппроксими­ ровались кривыми нормального распределения с математическим ожиданием М(£)= —X и среднеквадратическим отклонением о2(/, X). Учитывая, что под Р( £) подразумевалась функция Р( £ +

—|—р), условное распределение можно записать в виде

Безусловное распределение Р( £) равно

— 00

98

в результате преобразований получено, что безусловное распре­ деление величины 5 приближенно подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием М(%)= —X и дисперсией, равной (^ + а |). Результирующее распределение размеров, яв­ ляющееся композицией законов распределений ^ и р, подчиня­ ется практически нормальному закону с математическим ожида­ нием — X и среднеквадратическим от­

клонением

°1 = щ + °1-

Анализ решений уравнения (5) по­ казывает, что с2 уменьшается при при­ ближении величины импульса к X. Кроме того, для получения наибольшей точ­ ности линию настройки следует смещать в направлении действия износа инстру­ мента на величину X относительно тре­

им. А. А. Жданова.

Были получены многочисленные реализации случайного про­ цесса изменения размеров при растачивании отверстий под палец в поршнях. Статистическое исследование позволило установить, что этот процесс можно считать стационарным, случайным, на­ ложенным на неслучайную функцию времени (X = 0,2 мкм). Экспериментально исследовалась точность, получаемая при рас­ тачивании поршней с пульсирующей подналадкой (I = 0,3 и 0,7 мкм). Сравнение результирующих распределений размеров деталей, найденных теоретически, с экспериментальными (рис. 2) было проведено с помощью критерия Колмогорова, показавшего, что распределения хорошо согласуются (Р(Х) = 0,112). Значе­ ния среднеквадратических погрешностей результирующих рас­ пределений, полученных теоретически, экспериментально и модели­

подтвердили выводы, полученные аналитически.

Зависимость между параметрами исходного процесса и показа­ телями распределения размеров деталей в процессе с подналад­ кой позволяет обоснованно выбирать величину подналадочного импульса и оценивать возможную точность процесса на стадии проектной разработки.

99