Файл: Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]..pdf

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Д. С, Борисов, В. П. Гусев, И. Т. Чернявский. Дискретная динамическая модель поперечных колебаний стержня. — Сб. «Автоматизация исследо­ ваний динамических процессов электромеханических и пневматических

3.Д . С. Борисов, В. II. Гусев, И. Т. Чернявский. Исследование статических

идинамических характеристик колебательных систем с параллельнопоследовательными упругими связями. — Сб. «Автоматизация исследо­ вания динамики машин». М., «Наука», 1973.

4.Д . С. Борисов, И. Т. Чернявский. Исследование на АВМ некоторых за­ кономерностей внутреннего демпфирования поперечных колебаний стержней. — Наст, сборник.

5.С. П. Тимошенко. Колебания в инженерном деле. Физматгиз, 1963.

ИССЛЕДОВАНИЕ НА АВМ НЕКОТОРЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ВНУТРЕННЕГО ДЕМПФИРОВАНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ

Д. С. Борисов, И. Т. Чернявский

При исследовании поперечных колебаний стержней внутрен­ ние сопротивления выражаются обычно в виде зависимостей от величины и скорости деформаций, а также характера и спо­ соба нагружения.

По формуле Фохта [1], сила внутреннего сопротивления при­ нимается пропорциональной первой степени скорости деформа­ ции или скорости изменения упругой восстанавливающей силы.

В уравнении поперечных колебаний однородного стержня

а)

упругая восстанавливающая сила представлена вторым слагае­ мым. Скорость изменения восстанавливающей силы равна

Сила внутреннего сопротивления по Фохту

26

где h — постоянный коэффициент. При таком предположении относительно внутреннего сопротивления уравнение поперечных колебаний стрежня будет иметь вид

Используя метод разделения переменных, после подстановки и преобразований получаем выражение для /-й собственной час­ тоты и формы колебаний.

где Pj — номер /-й гармоники.

Формула (4) показывает, что с увеличением р . внутреннее

щ/

трение существенно влияет как на частоту шV. свободных колебаний, так и на декремент Ь.. Однако она не подтверждается экспе-

риментально и представляет теоретический интерес.

Пытаясь примирить теорию Фохта и результаты эксперимен­ тов, Бокк |2] предложил считать коэффициент трения X, входя­

Формулы (6) достаточно хорошо согласуются с эксперимен­ тальными исследованиями как свободных, так и вынужденных поперечных колебаний стержней [3], однако дискретный (по Бокку) характер изменения коэффициента трения существенно затруд^ няет анализ динамики подобных систем при полигармоническом возбуждении и не позволяет производить расчет переходных процессов.

Дальнейшее развитие теории внутреннего демпфирования при поперечных колебаниях стержней [4, 5, 6] связано с поис­ ками таких нелинейных зависимостей для коэффициента трения, которые позволили бы получить зависимости (6), не прибегая

кдискретному изменению коэффициента трения.

Встатье приводятся некоторые положения линейной теории внутреннего демпфирования поперечных колебаний стержней, свободной от недостатков теорий Фохта и Бокка, разработан^ ной с помощью дискретной динамической модели.

27

Построение модели. В консервативном случае, т. е. без учета трения, поведение каждой массы т дискретной модели попереч­ ных колебаний стержней [7] описывается уравнением

соединяющих отдельные массы дискретной модели (к — расстоя­ ние между двумя соседними массами).

Индексы при переменных у выбраны исходя из следующего физического смысла. На любую из масс дискретной модели оказы­ вают влияние упругие восстанавливающие силы пружин, сое­ диняющих ее с двумя соседними массами, а также антивосстанав­ ливающие силы, представляющие влияние масс, отстоящих на два интервала до и после рассматриваемой массы. Исходя из этого, в уравнении движения для i-массы (i = 1, 2, 3, . . ., п, где п — число масс, на которые разбивается стержень) ее перемещение обозначено через у{, перемещения оказывающих на нее влияние соседних масс, отстоящих на расстоянии к до и после i-й, — через у{_к и yi+k, а отстоящих на 2к — соответственно через у{_2к

И У{+2к•

Различным граничным условиям закрепления стержня соот­ ветствуют определенные условия, накладываемые на движение двух крайних масс дискретной модели. Так, случаю жесткой

Аналогичные условия могут быть заданы и для любых других условий закрепления концов стержня [8].

Характерной особенностью дискретной модели поперечных колебаний стержня является наличие антивосстанавливающих упругих взаимодействий между любой i-й и (£+2)-й массами модели, которые описываются двумя последними слагаемыми в выражении (7). Если эти слагаемые положить равными нулю, то придем к обычной цепочке масс и пружин, которая может рас­ сматриваться как дискретная модель поперечных колебаний струны или продольных колебаний стержня [9].

На рис. 1 построены графики, характеризующие статическую деформацию пятимассовых дискретных моделей, обусловленную одной и той же постоянной силой, действующей на пятую массу модели. Кривая а соответствует дискретной модели стержня с шар­ нирными опорами, b — модели поперечных колебаний струны. 'Сравнение этих графиков вскрывает роль антивосстанавливаю­

28

щих упругих взаимодействий при рассмотрении дискретной мо­ дели поперечных колебаний стержня.

На основе дискретной модели (7) можно довольно просто построить дискретную модель поперечных колебаний стержня с учетом внутреннего демпфирования. Как и обычно для диск­ ретных систем, будем считать, что внутреннее демпфирование пропорционально относительной скорости движения каждой

На ABM А-110 с целью выяснения влияния внутреннего и внешнего трения на величину декремента для различных форм свободных колебаний было проведено моделирование четырех­ массовых дискретных моделей стержней, изображенных на рис. 2, а и в, где прямыми линиями, связывающими каждые две сосед­ ние массы дискретной модели (рис. 2, б и г) обозначены упругие восстанавливающие связи, соответствующие второму и третьему слагаемым в выражении (7). Линиями в виде дуг обозначены упру­ гие антивосстанавливающие связи. В качестве дискретной модели шарнирноопертого стержня моделировались уравнения

Уг “Ь '-'Вт'Л + "Ш! (2/2 --- 2/l) --- ’ВЛ(2/з --- 2/г) 4"

+ 4ъ (у2— уг) — Ab (у3— у2) — by2 + b (yi — у2) = 0;

} ( 10)

Уз “Г 4 т2/з 4~ ’ни(Уз — 2/г) — ’ви (2/4— 2/з) 4" 46 (у3— 2/г) —

— 4Ъ(г/4 — у3) — Ь (у3 — г/j) — Ьг/3 = 0;

2/4 4" 4 т2/4 4" ’ви (2/4— 2/з) 4 - 4 п2/4 4" 46 (г/4 — ?/3) +

4- 26г/4 — 6 (г/4 — г/2) = 0,

29