Файл: Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]..pdf

аУ к

л

t, сек

Р и с. 3

где Свт, СВ11— коэффициенты внешнего и внутреннего трения. Уравнения составлены с учетом условий (86).

На рис. 3 — приведены осциллограммы движения одной из масс системы (10). При моделировании начальные условия выбирались таким образом, чтобы движение системы без трения обеспечива­ лось строго по первой (кривая 1 на рис. 3, а) или по второй форме (кривая 1 на рис. 3, б). По отношению амплитуд для £-го и (t-j-l)-ro периода колебаний можно судить о логарифмическом декременте колебаний по первой и второй формам. Осциллограммы (рис. 3) показывают, что для случая внешнего трения (кривые 3) логариф­ мический декремент с увеличением номера формы уменьшается,

ав случае внутреннего трения (кривые 2) остается постоянным (отношения двух последовательных амплитуд кривых 2 на рис. 3,

аи б одинаковы).

Аналогичные осциллограммы получены и для свободных коле­ баний одной из масс дискретной модели консольного стержня.

Рассмотрение поперечных колебаний стержня как сплошной системы. В [9] показано, что от дискретной модели поперечных колебаний струны можно перейти с помощью формулы Тейлора к рассмотрению поперечных колебаний струны как сплошной системы. Аналогично осуществляется переход от дискретной модели поперечных колебаний стержня к сплошной модели. Для этого разности, входящие в уравнение (9), разложим в степен­ ной ряд

Уравнение (12) описывает поперечные колебания стержня как сплошной системы с учетом внутреннего демпфирования.

Для его решения используем метод разделения переменных. Для случая, когда концы стержня закреплены шарнирно, реше­ ние (12) может быть доведено до конца и получены следующие

31

выражения для частоты собственных колебаний и логарифмиче­ ского декремента:

Разработанная линейная теория внутреннего демпфирования поперечных колебаний стержней, в основу которой положено уравнение (12), хорошо согласуется с экспериментальными дан­ ными и свободна от недостатков, свойственных теории Бокка.

Сопоставление теории Фохта с разработанной теорией. Прове­ дем сравнительный анализ вынужденных колебаний стержня, описываемых уравнениями по Фохту и предлагаемой теории соот­

При рассмотрении (146) имеем:

3 -f- 2\y\2JSJ + aWjSj = hj sin £*,

по фундаментальным функциям задачи о свободных колебаниях;

в то время, как в соответствии с (14а)

Учитывая, что собственная частота системы, поведение которой

32

кубам собственных частот. При использовании уравнения (146) отношение двух последовательных амплитуд обратно пропор­ ционально квадратам собственных частот. На практике имеет место последний случай [3], что еще раз свидетельствует в пользу разработанной теории внутреннего демпфирования поперечных колебаний стержней.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. W. Voigt. Ann. d ’Phys., 1892, 47, s. 671.

2.G. Bock. Schwingunsdampfung unter Ausniitzung der Werkstoi’fdampfung. — ZAMM, 1932, v. 12, H. 5.

3.E. С. Сорокин. Метод учета неупругого сопротивления материала при расчете конструкций на колебания. — Сб. «Исследования по динамике сооружений». Стройиздат, 1951.

4.II. //. Давиденков. О рассеянии энергии при вибрациях. — ЖТФ, 1938, VIII, вып. 6.

5. Я . Г. Паиовко. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. Физматгиз, 1960.

6.Г. С. Писаренко. Колебания упругих систем с учетом рассеяния энергии

вматериале. Киев, Изд-во АН УССР, 1955.

7.Д . С. Борисов, В. П. Гусев, И. Т . Чернявский. Дискретная динамическая модель поперечных колебаний стержня. — Сб. «Автоматизация иссле­ дований динамических процессов, электромеханических и пневматиче­ ских устройств». М., «Наука», 1971.

8.Д . С. Борисов. О некоторых свойствах собственных чисел пятидиагональ­

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ КОПИРОВАЛЬНОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ МАШИНЫ ДЛЯ ТЕРМИЧЕСКОЙ РЕЗКИ МЕТАЛЛА

И. П. Елаев, О. Б. Балакшин, В. П. Гусев, В. А. Ковановская

Технические характеристики копировальной машины суще­ ственно зависят не только от свойств механического привода, но и параметров пневматической следящей системы. Как показали эксперименты, изучение их влияния на динамическую точность является сложной и трудоемкой работой.

Статья посвящена исследованию на АВМ типа МН-18 дина­ мической точности трех последовательно усложняемых вариан­ тов пневматической системы управления машины для термиче­ ской резки металла.

Пневматическая система управления состоит из пневматиче­ ского датчика а слежения за контуром копира; дифференциаль-

ного распределителя золотникового типа б; камер обратной связи в\ двух пневматических лопастных двигателей г, соединен­ ных с входами дифференциального механического редуктора б, и цепи кинематической обратной связи е с датчиком а (рис. 1).

Датчик слежения а выполнен в виде пневматического усили­ теля типа «сопло-заслонка» с камерой переменного объема. Входным воздействием для усилителя является изменение пло­ щади / 23 проходного сечения измерительного сопла. Сопло пере­ мещается горизонтально по кромке копира. Распределительный золотник сравнивает давление в камерах 2 и 2/7, изменяет по вели­ чине и знаку разность расходов лопастных двигателей. Распре­

рости вращения двигателей равны. При этом выходной вал диф­ ференциала неподвижен, а ошибка рассогласования копироваль­ ной системы у = 0.

В качестве исходной изучаемой модели примем простейшую систему управления (рис. 1, а). Выпишем систему нелинейных дифференциальных уравнений проточных камер и подвижных элементов системы при общепринятых допущениях [1]

34,

S0Z3

P и с. 1

3*

где V, Р, Т — объем, давление, температура газа камеры; d, f — диаметры отверстий дросселей и их площади; R — универсаль­ ная газовая постоянная; F, К —эффективная площадь чувстви­ тельного элемента и его жесткость; М — приведенная масса под­ вижных элементов распределителя; у, у, у — перемещение, скорость и ускорение золотника; iS,045 — зазор, характеризующий симметричное положение золотника, принятый за начало отсчета у; а — коэффициент сил вязкого трения; со, со, gr, I — ускорение, скорость вращения, удельный расход и момент инерции лопаст­ ных двигателей; М п — статический момент нагрузки; i — пере­ даточное число редуктора; [3, а — направление движения веду­ щего ролика и контура шаблона; у — угловая ошибка копирова­ ния; / 23 — площадь сегмента с высотой (0,5с?23—еу).

В этих уравнениях принята следующая последовательность обозначений: параметры V и Р имеют порядковый номер камер по направлению течения газа (рис. 1). Площади отверстий дрос­ селей / и эффективные площади мембран F имеют двойную ин­ дексацию номеров камер, которые ими разделяются. Аналогич­ ные параметры симметричной дифференциальной ветви «противо­ давления» дополняются индексом «П».

Уравнения (1)—(4) описывают динамику пневматических камер,

(5)—(8) — движение золотника, лопастных двигателей и дифферен­ циального редуктора, (10) — определяет площадь истечения через измерительное сопло.

Из уравнения (9) следует, что для точного копирования необходимо совмещение прямой ММ (рис. 1, а), характеризую­ щей направление движения ведущего ролика с касательной NN, т. е. равенство нулю ошибки рассогласования у = а — р. Профиль кривой копира Q в этом случае для точки А определяется поло­ жением касательной к контуру NN. Касательная NN задается углом а относительно плоскости координат ху, соответствующих направлению движения каретки по рельсам.

В силу особенностей следящей системы, работающей на по­ давление ошибки рассогласования, она имеет одно равновесное

нальные значения параметров и «опорных» давлений в камерах, а также угловую скорость вращения двигателей на основании их

Принимая во внимание, что рассматриваемая система всегда работает при малых рассогласованиях, ее исследование может быть выполнено на основании линеаризации системы уравнений

(1)—(10) [1, 3].

36