ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 63
Скачиваний: 0
ur=f(r, |
t) = Ae~ |
sin ü) \ t |
(II.2.44) |
составляющие этого вектора по осям будут
и |
иа = аи.\ —, t |
(II.2.45)
"г О
причем х = г а, y = r ß, г = г у.
Поскольку рассматриваемая задача сейсмодинамики линейная, справедлив принцип суперпозиции решений, т. е. движение систе мы по закону (П.2.45) определяется суммой следующих решений:
" , 0 = а |
" ( « |
« у О = |
«ГО = 0 |
(II.2.46)
(11.2.47)
"го = |
" , 0 |
~ |
° |
|
и, о = Т " |
|
— |
(11.2,48) |
|
|
|
|
|
|
" , 0 = |
" У 0 |
= |
0 |
|
каждое из которых уже найдено.
Исследование точности упрощенного метода. Проведем сопо ставление точного и приближенного методов. Рассмотрим систему четырех ортогонально жестко стыкуемых в одном узле трубопро
водов. Пусть все трубы |
одного диаметра имеют одинаковые жест- |
|
костные характеристики |
и сейсмическое движение грунта происхо |
|
дит вдоль оси X. Тогда |
дифференциальные уравнения поперечных |
|
движений труб в относительных координатах будут иметь вид |
||
<?4 W 3 |
,2 d*W3 |
|
dz* |
|
dt* |
|
|
(11.2.49) |
d 4 w 2 |
2 d l W z |
+ 4* w, = 0 |
дх* |
|
|
|
|
|
5- 1 18 |
.65 |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
да, |
|
да. |
|
|
|
(II.2.50) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Wo |
|
да•.да, |
да. |
|
|
|
|
|
Применив интегральное |
преобразование |
Лапласа |
по t |
и при |
|||||
няв нулевые начальные условия для всех |
перемещений, |
сведем |
|||||||
(П. 2.49) к системе |
обыкновенных |
дифференциальных |
уравнений, |
||||||
решения которой запишем в виде: |
|
|
|
|
|
||||
ѵ3 |
= e"Xz |
[Â3 |
cos Xz + В'3 |
sin X z ^ + |
|
|
|||
+ |
е Х г |
\E3 |
'cos |
Xz + |
sin Xzj - f г>0 |
(s) |
|
|
|
г»з = |
е _ Х г |
( Лд cos Xz + 5 3 |
sin X z) |
+ |
|
|
|||
+ |
e?Xz ( £ 3 |
cos Xz + |
sin Xzj + т>0 |
(s) |
|
|
|||
г/ |
= |
e~Xx |
[Äz |
cos |
Xx + Bz |
sin Xxj |
+ |
|
(II.2.51) |
|
|
||||||||
+ elx (Ez cos Xx + Fs sin Xxj
г/ = e~Xx ( Äz cos \x + 5° sin Xxj - f
+ eXx (Ez cos Xx + Fz sin Xx)
где
0 |
(s) |
JL |
S «о |
+ / |
duo |
\ |
|
|
г» |
4X< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4X4 = |
ß V |
+ |
4x4; |
|
|
|
|
|
00 ^ |
|
|
|
|
00 |
|
V£,s)^w£,t)e-St |
|
dt;li0 |
= |
J « 0 e - J < ^ ; |
(II.2.52) |
|||
|
|
5 = |
; s |
= |
Т + |
fx. |
|
|
Используя краевые и кинематические условия (см. гл. II, §1) записанные в изображениях, получим систему решений в виде
66
•од = |
е |
Xz |
^Аг |
|
cos |
Хг - f В3 sin Xej |
|
||||
v's |
= |
е Х г |
{E"3 |
COS XZ - f |
sin Xz) |
(Н.2.53) |
|||||
г/ |
= |
e"^ |
Bz |
|
sin Хл: |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
?/ |
= |
еХхВ'г |
sin Xx |
|
|
|
|
||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
- |
|
À3 |
+ |
Б ; |
= |
0; |
|
(И.2.54) |
||
В3 |
~ |
2А3 |
- |
F3 |
= О |
|
|||||
|
|
||||||||||
Для замкнутости |
системы |
составим |
динамические |
уравнения |
|||||||
равновесия сложного |
узла |
|
согласно |
|
(II. 1.22—11.1.24). |
Уравнение |
|||||
2 m ° n i y ( Q f t ) = 0 запишется |
|
так: |
|
|
|
|
|||||
B'za-Ä3 |
|
|
|
%-В3 |
«р, |
- F 3 К„ г = 0; |
(Н.2.55) |
||||
где |
а = |
ХАх' |
|
+ Ux" |
+ |
2; |
|
||||
|
|
|
|||||||||
Ф |
= Х Д 2 ' - Х Д 2 " |
|
Км |
|
|||||||
|
JL; |
|
|||||||||
? |
ж |
=ХДг' + |
1 |
+ |
^ |
|
|||||
Ѳг = ХДг'+ 1.
Для составления уравнения движения узла необходимо пред варительно определить относительные перемещения труб х и — х из уравнений их продольных колебаний, которые в нашем случае имеют вид
В X дх* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&и0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (H.2.56) |
||
|
x~âïïXJX* - |
|
x S t ï - |
|
x |
|
- ~ |
|
x |
X -ЩГ + |
|
|
B |
m |
k |
U |
m |
В |
х-№ |
||||||
dt*
Применив к системе (II.2.56) интегральное преобразование Лапласа, получим решения в изображающих функциях
и — Схе |
+ • |
|
(11.2.57) |
|
|
||
|
|
Sti |
rn, |
|
|
|
67
где
и '— и ;
Из условий непрерывности в узле следует, что
Ct = |
С2 ; |
|
5 2 "о + |
11F |
(II.2.59) |
л ; - с , + |
( S ) . |
«2+ —
Уравнение движения узла в относительных перемещениях за пишется согласно (II.2.33) в виде
С, |
2Я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2- |
, |
/ d u o \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
X |
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
+ |
|
|
|
|
|
X (4 DX3 |
+ |
AF. < и д |
+ |
« х , s2 |
) + 4 Z Ä \ |
(s) + |
m„ |
ffi |
^ |
+ |
|
|
|
+ |
» |
o h / |
2 + A F - C ) |
= 0. |
|
|
(И.2.60) |
||
Выражения |
(II.2.54; |
II.2.55; |
И.2.60) с |
учетом |
(II.2.59) |
в |
сово |
||||
купности представляют систему трансцендентных уравнений для
определения |
постоянных А 3 , В3, F 3 , В Г |
, С1 |
. Решив |
ее, получим |
|
Ä ' ( A F . ^ . . + « 4 , ) + 8 Ä V |
|
» „ А ' ( ^ ) |
|
||
С і = |
AT |
+ |
|
ДД' |
І Ы |
|
s2 + — ; A = 2 f i x ] / "/ :л г s2 |
4- |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
s и0 + Д «о - [ ~дГ
<—о
68
R |
|
|
|
|
(II.2.61) |
|
|
|
|
|
|
В. = — , г |
Т я Q; А, = Q |
||||
9 |
+ ф — Ѳ |
|
|
|
|
в. |
+ <Р, + Ѳ г |
|
|
|
О 1+т ги 1 + гѲ ^ |
а |
|
|
|
||
|
— , |
(да0 |
|
|
|
|
S и0 + |
dt |
|
|
|
|
|
1-0 |
- v0 |
(s) |
|
Q=C,+ |
|
|
|||
|
|
|
|||
Можно считать, что точные решения уравнений поперечных и, продольных колебаний трубопроводов определены.
Упрощенные уравнения поперечных колебаний трубопроводов [125] в нашем случае имеют вид
dz* |
(11.2.62) |
|
|
||
à4 wz |
+ 4xV = 0 |
|
àx* |
||
|
Эти уравнения, будучи подвергнуты интегральному преобразова нию Лапласа, подчинены краевым и кинематическим условиям, предложенным выше и записанным в изображающих функциях, приводят к решениям, аналогичным (II.2.53), причем
В3 = - и » - В 2
Fl |
|
=7?-В" |
|
|
(ІІ.2.63) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
и°= v0{s)—u; |
v0(s) |
= |
2и0. |
|
||
Уравнение равновесия 2 m o m y |
(Qf c ) = |
0 запишется так: |
|
|||
2Dx% |
р - |
4Dx3 |
и°ѵ = О, |
(ІІ.2.64) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
fx = хД.ѵ' + хАх" + хДг ' + |
хДг" + |
^ |
+ |
4- ѵ Az" - |
Az'. |
|
Используя (II.2.58), составим уравнение движения узла, ана логичное (II.2.60),
69