Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

У ПPk^v) <

г t l~

iV

п I pft+i (v) -

Ph (v) |<

w = = n -

3 .

(1.3.42)

У 2 it a

0

j/2 те a0

С другой

стороны,

K«|Pfc+i(v)-P*(v).| =

=

У

— e~kkh+1

1 +

_LYfe+v

k +

l

_

(1.3.43)

д

(A + V )!

k

k 4- v + 1

Полагая

R

=

t

и считая выполненным условие

—

п

t > l A

.

(1.3.44)

напишем

1П Г е' кк^

< - А

=

е х р

(<, V T ) (

1 +

“

<

(A + v ) l

У Т Т Г

г

Ч

V n t )

1

exp j. а V п — (п t +

a Y

— . /

а

<

я )

У nt

2nt*

<

1/2 nt

<

1

f

a

2

,

а3

<

у

~

= ехр J —

з Т

+

2 1 /7 Г /2

< 7 Я Е 7 "* { -£ Ь

(1.3.45)

Кроме того,

v

{

k j

____ к

* + v +

1

k +

v

v + т }-

<

exp

— 1 +

k +

1 <

< exp j

]

-

1 <

+

exp I v (v + '»

l

k2

k2

k2

2 A2exp ( 2A2

<

2 A2 e*i2

(il. 3.46>

nt2

1 nt2 j

~

v = e*1

1 \ k+'j+l

k

1 +

k +

v +

1

k

f i + — V ( i - - I ± U ]

1 >

> [ l +

k +

v +

г -

1

{

^ k I {

k

+

V +

r j

> 1 1

+

1 -

v + 1

k - f

V - f

1

1

I

(1.3.47)

nt ^

k - j - V

—f— 1

k

nt2

Из (1.3.46) и (1.3.47) следует

I v |<

с

(1.3.48)

■

Vn jРк+г (v) -

Ph(v) |< —~ exp

4 1

гг"1, ( * < 1) .

У 2л

(1.3.49>

Но для t > О

ехр

IQ-5/2g-5/2

4 1

<

pi2

и поэтому из (1.3.49) следует

V~Z\Pk+i

п

(1.3.50)1

с

(10 е)-5'2

Cl =

а\

У"2 л

Vn\Ph+x( y) - Pk( v ) \ < - ^

где

п

с2 = шах

I сх ,.

V2 па0)

’

и в силу

(1.3.40) при

а > 0

ч

1Ги-1- Т д1« -0,/п < 2

^

e “ ( ? "

) 0 / n

I

и -

* V ( ”) I

X

Г=1

X егт1п иг— = ------------------ <

А .

У

1

п FP^,(s -

m)

] / п Рт(s — т)

п

/•=1

Следовательно, согласно

(1.3.29),.

I Т < 7 + 1 -

Г 9 I <

—

п

V

где

0

и а > - 0 .

Тем

самым

применимость леммы

1.3

из § 2 доказана.

Необходимая для практического применения (1.3.39)

таблица

функции

Ф+

(6, X) [26]

приведена

в

приложении (см. табли­

цу

1) . При

помощи этой таблицы для

достаточно больших п

(п >

1С0)

можно указать верхний предел отклонения Sn(x)—F(x)

на интервале

( д- : 0 ^

/•' (.г)

sc;

1

- 0 ] ,

гарантируемый

с напе­

ред

заданной вероятностью.

0 =

Пусть,

например,

X =

1,-8;

0,3;

тогда

для достаточно

больших

п с вероятностью

0,99356

имеет

место

неравенство

S , ( * ) - F

( * ) <

- b j t

У n

для всех x

из интервала

{ х : 0,3 ^

F (х) ^

0,7}.

§

4.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИКИ

Dn(Q1, 02)

Перейдём к изучению максимума двустороннего отклонения

Sn (х) от

F (х)

на данном

участке

роста

F (х).

Обозначим

Рп ( 0 1 , 0 2 ; X )

= Р

в п ( 0 Х, 0 2 ) <

V

п

Т е о р е м а

1.2.

Пусть

F (х) — непрерывная

функция,

0("> =

—

ы

0("1 =

jHh-

,

где

тг

а

т2 — целые числа ma­

rl

п

кие,

что 0 <

тг <

т2<

п .

Если при

п -V оо

е<г> = 01 + о

= 0 2 4 - о

|, о < 0 г < 0 2 <

1,

то

lim P n [0<?>,

0(g);

Ф (0!, 62; X),

X] =

где

П-+оо

1

/

0i ( l _ 01)

Ф (01, 02,•*) =

exp

у

в («1, г„) | 1 d z id z ,

-

2 я / 1

-

Я 2

/ М

1~ У

/ « 2(1 “

У

X — 2 kX 8г

X — 2fe Я (1 — В2)

1

/ M i- У / 1,( 1-а,)

! ^ | ( - l ) ft-iexp

2£2Х2}|

X

2 я К 1 -

R2

— X — 2fe X flt — X — 2feX (1—62)

А=1

/O i(i-tH )

/ « 2(1— °а)

X

exp

- - - -J

0(Zi, Z2) j

d zx d z2 ,

7? —

1 / ~

^а)

V

0,(1 —0х) ’

в (*!.**)

1

(zi

-f

2 7? zx z2 +

zl) ,

1 -

Я2

6(*i, z2) =

1

R2•(z2 — 2 Я zt za +

z\).

1

-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

же

как

и

в

§

3,

числа

та­

кие,

что

F(^) =

к

k — 1, п — 1 .

Они

определяются

однозначно

за

исключением

того случая,

когда

равенство

F

(х)

=

k

осуществляется

на некотором сег-

—

п

менте;

в последнем случае мы будем

считать £Л левым концом

этого

сегмента.

Пусть

р, >

0 — целое число.

Значениям

функции

F(x),

0(?J =

—

и #*>=

Oh. отвечают числа

Е

и £

(Е <

£

) .

^

д

Tft^

Ш2

fllr-у

iil%

Неравенство

Dnm \

- п-

равносильно выполнению неравенств

—

<

Sn (x) -

F (х) <

А

(1.4.1)

для

всех

значений

х

из сегмента

[£

,

£

1 .

Кривые

t/+ (х)

=

F (х)

+ —

и

у~{х) =

F (х)

п

яв-

п

ляются границами полосы С» с шириной 2 —

и Рп 0(^, 0(^ ;—%=.

п

L

V п

есть

вероятность

того,

что

кривая Sn (x)

на

сегменте

Ет ^

^

х ^

проходит внутри этой

полосы.

Если на

концах

это-

го

сегмента

в точках

и

неравенства

(1.4.1)

удов-

4. Г. М. Мания

49