Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

ками

последовательности

•

Если

точка

£

i

есть

точка «входа»,

то

будем гово-

рить,

что

произошло

событие

Ад (р). В этой

точке

« „ 1+, > ~ F

> +

п

т1 +

д, +

р

п

и, следовательно, левее точки

расположатся

в точности

т1 + Q+

р

наблюдений.

Если

точка

есть

точка

«выхода», то

П

тх +

q — р

(1.4.2)

и, следовательно, левее точки \т

расположатся

в

точности

тг +

q — р наблюдений.

Последнее

событие

будем обозначать

через

Aq(

-

р).

Пусть Рп(яг, s2), как

и в предшествующем параграфе, есть

вероятность равенств (1.3.3). Обозначим Р51S2(р; п) условную

вероятность

неравенства (1.4.1)

для

всех х,

при

выполнении (1.3.3).

Тогда

Рп ( 0(?>, 012>; - £ =

■ 2

pn(si,S2) P

(p; n).

(1.4.3)

У п

SlS2

0 < S j ^ S2

Для

условной

вероятности

P

(p;

n)

имеем

PS1S2(p; n) =

0 ,

sl s2

если

и

si >

mi +

P

или si <

m1 — p

s2>

m2 - f

s2 <

m2 — p, ,

p

или

так как, при осуществлении едкого

из этих

неравенств, кривая

5 П(х)

на концах

сегмента

[ 1т , \т ]

выходит из полосы Сй.

Рассмотрим

случай, когда

тг +

11<

h ^

тх +

р ,

тг — l1< sa < тг + I1•

Положим

т =

т 2 — тг .

При наших обозначениях

1

- Р ^

; п ) ~

Р {

т

U

(Л ,(р )

l M

, ( - | i ) ) } .

(1.4.4)

9 = 1 .

Пусть события

Ur и Vr

определяются

следукшим

об­

разом:

и г =

Л ^Р)

••• Л‘ _х (р.) Аг (р) ,

Уг =

А\ ( -

р)

••• Аиг ( -

Р) Л, ( -

Р) > г =

1, т .

Эти

события

взаимно

исключают

друг

друга

и поэтому

для

(1.4.4)

можно написать

т

т

1

-

Р

( | г , п ) = У

Р ((/г} +

Y

Р

ю

(1.4.5)

S, S.

Л=Т

г= 1

С другой стороны, аналогично (1.3.9),

я

Р { Л 9 ( Р ) } =

2

Р { ^ } Р И , ( и ) М / ( р ) }

+

/•=1

Я

+

2

Р |1/г}

Р И ч (ft)

f Л , ( - р ) } ,

r = 1

Я

Р {А9( -

р) } =

^

Р {V,} Р {Лд ( -

р)

|Л, ( р ) } +

я

____

+

2

р i v , i Р И , ( -

р ) | л г ( -

р ) } ,

д = \ , т . ( 1 . 4 . 6 )

7^1

(1.4.6)

представляет систему 2 т линейных

уравнений о

носительно 2 т неизвестных

Р [Ur] и

Р {У,} ;

решим ее

мето­

дом производящих функций.

Пусть,

как

и

в

предшествующем

параграфе,

hq,

q =

=

1, т ,

обозначает

число наблюдений,

попавших

в

интервал

Наступление событий Лв(ц) или

Aq( - ц)

в предположении,

что

S„ (Е

) =

S

,

Sn (Е

) =

S

,

в си -

—

п

т1

П

"*»

лу (1.4.2),

равносильно осуществлению

следующих равенств:

Sn( Е

,

) — Sn ( Е

) =

+

я 4- p -

Si

t .

e.

К +

••• +

hq =

+

<7— p, — sx ,

(1.4.7)

и соответственно

(для Aq(— p))

Щ +

q — p- — Sj

S " < W

- S « < « « , ) "

n

t.

e.,

7*1

■’ ■ H“

^

ml — Я4“ I* — S1

(1.4.8)

Пусть

s =

s2 —

— число

наблюдений,

попавших в сег­

мент

[ 5m

,

];

при

сделанных предположениях,

принимая во

внимание (1.4.7)

и полагая

I = mx — sx - f

[х

,

(1.4.9)

получим

р

ц

» }

=

s !

/

9 \ Ч-<7 /

т — q у —l—q

(l + q)[{s — l — q)\

\

т /

\

т

=

Рд (*) Рщ-д ( S - 1

-

т)

'

(1.4.10)

Рщ ( s - т)

где

Рд (ц)

определяется, как и раньше,

из (1.3.12).

Аналогично,

если положим

I — т^

[х ,

<1.4.11)

р М 9( - ц ) }

р Q) рщ-ч (s - 1 - т )

(1.4.12)

Pm (S-

т)

Для условных вероятностей Aq(ц) точно так

же

будем

иметь

Р { Л » |

Л » }

=

J

=

Р {К+2 +

■■■+

\

=

q -

г |hr+1 +

■■■ -j~ hm =

s — I

г] —

_ Pq-r (^) Рщ-д (s

I — т)

(1 4 13)

Р т - г ( * - 1 - т )

Р [ Л , » ) | А , ( - у . )1

-

Pm-r (S

~

l Z

™L,

(1.4.14)

- I -

т )

р И , ( -

|1)

|Д ,(р ))

=

~

~ f

—

,

(1-4.15)

Р И ,( -

р) |Л ,(

-

ц)}

=

Pq-r(0)Pm-q( s - l - m

j

'

(1.4Л6)

Pm~r ( S - I - т )

Если ввести

новые неизвестные, полагая

Рт(s -

т)

« , = р т Рт-г (s — 1 — т)

(1.4.17)

P m (s -m )

vr =

P{Vr}]

Pm-r(S— l - tri)

то,

согласно

(1.4.10),

(1.4.12) — (1.4.16),

основные

уравнения

(1.4.6)

можно свести к следующим:

я

я

pq( l ) = ' 2 i [“rPq-r(0)+ ^ o , P q_r ( 2 p ) ,

<7=

1 ,т ,

r= 1

Я

Я

____

pq(?) = 2

«Г Pq-r ( -

2 Р) +

V Р ,.., (0),

q ~ l , m .