Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

я

я

q =

___

Ря(1) = ^ u r Pq- r(0 )+

I, со, (1.4.18)

и

ъ=\

я

я

___

^ > = * 2

и , Р , - Д - 2 ц ) + 2 ^

Р ^

( ° ) ’

Я**1’ ™

7^1

7^1

(пользуясь

тем, что коэффициенты

P9_r(0), Рд.г(2р.) и

Pq-r( — 2 ц)

определяются для всех

значений q и г ) .

Система (1.4.18) может быть решена с помощью произво­

дящих функций.

Положим

00

со

и

= 2

Uqw<?’ у ^ = 2

Vq

и

<7=1

<7=1

Р (р; со) = п - * Р ^ Р » со2 . ‘

9—1

Тогда, в силу (1.4.18), будем иметь

Р{1\ со)

= ы(со)Р(0;

со) - f У (со)Р(2р; со),,

(1 4 ] 9)

Р (J; со)

=

м (со) Р ( — 2 р; со) -р У (со) Р (0;

со).

Из (1.4.19)

определяются

и (со) и

у (со), а

уравнения

(1.4.17) определяют Р{£/г)

и P{Vr). Но нас интересует лишь

сумма, встречающаяся в (1.4.5).

Положим

/ — т)

(1.4.20)

и

я

1

2

v' pi-'(s -

1 -

т) ;

Pm (S -

т )

т

I — т)

fIL

7 т

рт(*

т)

г==1

“гРт-г(*

Л=1

р т

а

т

Рт =

2

*г Рп- Л * - I - т )= ^

Р (КЛ

Рт (s

-

т )

/•=1

г=\

Следовательно, в силу (1.4.5)

1 -

Р.

. (F. л)

=

Тт 4 - Р « •

(1.4.21)

5i 5а

Из (1.4.20)

будем иметь

оо

1

Г ( “ )

=

" S

0)2 =

m ( o) ) P ( s — / — т ; ы ) п 1/ 2. ( 1 . 4 . 2 2 )

Рт(s -

(« )

т )

9=i

Аналогично

? (“>)

=

Ро ^

---------------у (ш) Р (s—1—tn; со) н1/2.

(1.4.23)

<7=1

Рт (s

-

т )

Теперь

исследуем

предельный

вид этих

производящих

функций,

когда

п ->

со .

Для этого

рассмотрим

фиксированное

число

t >

0

и

положим

S = — .

Пусть при

п->

ОО

п

<78 =

—— > t .

(1.4.24)

п

Далее,

положим

to =

e-s/”

=

e~6s,

sx =

П01 +

tl Y П,

(1.4.25)

S2 — Ц 0g И" ^2 ^ ’

где

я

t2 — действительные числа

и

л > tx ,

х >

t2,

—L= = х -

/, + o ( i ) .

У n

С помощью (1.4.25) нетрудно видеть, что

7

— — X — г“2 “Ь Р (7) •

=

V л

В

силу

известного

свойства закона

Пуассона

для

JL t f

I

I

п

X — ^

,

при

я - >

оо ,

будем

—т==

и —т = -> — X —

V п

У п

иметь

lim nV* _Pa (/)

=

(2 7i-.ty1!2exp

| —

— ------^lL_

Tl—►оо

I

2 t

lim л1'2P . (/)

=

(2 те t)~1>2exp

(X

+ УТ

tl—»oo

2 t

Отсюда,

согласно лемме 1.2, получим**

|* t' 1/2 ехр | ------ ^

^ . — st \dt =

2 ТЕ

2 1

=

(2 s)'1'2ехр { -

(2 s)1/2(1 —

/ i ) } ,

(1.4.26)

lim Р(7; e_s/n) =

8 - 0

1 ' V z - e x p J - ^ + ^ i )2

st l dt =

ТЕ

2 t

=

(2 s)-1/2exp { -

(2 s)1/2(A +

/ , ) } .

*) Доказательство применимости этой теоремы к данному случаю

остается

прежним (см. § 3).

Аналогично

lim

Р (0;

e~sin) =

(2 s)-1/2 r

6 -0

Нш P (2\l; e~sln) =

(2 s)-1/2exp { — (8sX2)1/2) } ,

(1.4.27)

b-0

lim

P ( -

2 p; e~sn) = (2 s)-1/2exp { - ( 8 s X2)1/2}.

6 - 0

Тогда, в силу (1.4.26) и (1.4.27), из (1.4.19) следует

lim

и (e~sin) =

6 - 0

exp { -

[2s(X - W

2} ~ exp { - (8sX2)x/2-

[2s(X + txf J1/2 }

1 -

exp

{ -

2 (8 s X2)1"/2}

’

Аналогично

(1.4.28)

lim & (e~sln) =

6 - 0

exp { -

(2s)1/2(X +

*,)} exp

{ -

(2 s)1/2(X -

- (8 sX2)1/2}

1

-

exp { -

2 (8 s X2)1'2}

(1.4.29)

Покажем

теперь,

что

я-1у (e~sln)

и

n~1^(e~sln) имеют

определенные пределы

при

со и s >

0 .

В

самом

деле,

из (1.4.22)

и (1.4.23)

имеем

/

г

1 у(е~*1п)

u (e~s/n) Р (s — / — т; e~sln)

n1'2 Рт (s — т)

(1.4.30)

v (e~sin) Р (s — I — т;

e~sln)

п~1

§ (e-s'n)

п1/2 Рт(s — /и)

Из

(1.4.9) и (1.4.11) нетрудно видеть,

что

Тогда, аналогично (1.4.26), получаем

lim

P ( s -

l - tn\ .e~sin) =

(2s)rV* exp

{ -

[2s(X -

4 )2]1/2

(1.4.31)

lim

P(s — l — :m; e~sln) =

(2 s)-1/2exp { — [2 s(X -(- ^2)2]1/2} •

П -+

со

Таким >образом., в

силу (1.4.34), (1.4.28), (1.4.29) и

(1.4.31), для (1.4.30) можно написать

lim

гг1 у (e~s!n) =

■П~+ СО

f )

1/2(92 -

е

^

/ 2 е х р

{ -

( 2 ^

/ 2( Х - д е х р

v

exp { -

(2 sfl* (X -

tx) -

(2 s)1/2(X +

tx) -

(8 s X2)1/2)

1 -

exp

{ - 2 (8 s* 2)1'2}

O i( s )

(1.4.32)

^

( t )

; (02- 0i)1/2ex p 1{ '- (2s)1l2(X -K x)} exp

x

v

exp { -

(2 s)* /» (!+

tj\ exp { - (2s)1/2(X -

- (8 SX2)1/2}

1 -

exp { — 2 (2s X2)1/2}

= Ф2(s).

(1.4.33)

Представив [1 — exp

( — 2 (8 sX2)1/2} ]-1

в виде суммы

бес­

конечной

геометрической

прогрессии, для

Фх (s) и Ф2(s)

по-

.лучим

Ф 1 (S) =

' (02—0i)1/2exp

— ^ ] [ e x p { - ( 2 s ) 1/2( 2 X - ^ - y }

00

— exp {— (2 s)1/2(4X +

tx — t2) } ] ^ jjj exp { — (2 s)1/24 v) =

3 o

=

-

(t2-

t,)2

(02 — 0i)1/2<e*IP

X

. 2

( 0

2 -

0 x)