Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

X

' т

) 1/2 2

ехр,{~

(2s)1/2 [(4v +

2Д -

-

<,] }

 

 

v=0

 

 

 

 

 

 

,1С V1/2

,ИЯМ -

(2 s)1/2 [ (4 V + 4) * +

-

Ш

 

S

2

 

v =±0

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф , (S )-

 

 

 

 

 

 

= ( т

 

ехР|^в-Г57)}1ехр (_(2 s),',(2х+г>+(л-

 

 

 

 

оо

 

 

 

-

exp { — (2 s)1/2(4 X - it, -

*,)} ] V exp

{ - (2 s)1/24v X} =

 

 

 

 

v = 0

 

 

 

 

(e2-

9l,^ exp [J ^ _ J g j X

 

 

 

 

JC\ 1/2

exp.{ -

(2 s)*/2[ (4 v +

2)x +

lt +

t2] } -

 

 

2

 

ti_ V1/2

<exp { - ( 2 s f /2,[ (4 v +

4) X —

- *a] }

 

 

 

s

^7=0

Из (1.4.26) можно заключить, что O ^ s) и 0 2(s) являются преобразованиями Лапласа для функции

ш =

 

 

 

 

^l)2

 

QQ

exp Г

[(4v+ 2)X -/1- / 2]21

е 2 -

0.x \ , / 2

ехр

(/2

I V

t

 

 

L2(e2-0x)J 1 X

1

2/

оо

 

[ (4,у +

4).Х +

'/1 - ^ ] 2

 

У е х р

 

 

 

2't

 

 

 

 

^ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/2 (0 = ( 0

2

exp

(*2 -

A )2

 

 

exp

[(4v +2)X + /1+ /2]2

 

 

 

2 (0, - в х )

-v=0

2t

 

 

 

 

 

 

, exp

[ (4a>+

4).X-

^

-

/ 2]2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

V^O

59

 

 

Отсюда,

при t — 02 — 0Х будем иметь .

 

 

Ш 2- Л У =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

ехр 1

(к -

 

к ?

1 [

 

_

л

[:(4v +

2) х -

к г-

к Г

2 (02 -

0J

 

 

ехр

2 (03-

0а)

 

 

 

 

 

 

7= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

[ (4 v +

4) X + ^ — /2]2

 

 

 

 

 

 

ехр

 

 

 

(1.4.34)

 

 

 

 

 

2 (02

0Х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/г

(®г

 

 

®i) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ехр

 

(к ~

 

к?

 

2

ехр

[(4 v +

2) X +

tx +

t2]2

 

2 ( 02

 

0Х)

 

2(02 -

ВО

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7=

0

 

 

 

 

 

-

V

 

ехр Г _

[ ( 4 у +

4 ) А - < , -

t . f i

 

 

(1.4.35)

 

Н

 

 

I

 

 

ЧЧ.-Ч)

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из леммы 1.3

и формул (1.4.32), (1.4.33), ,(1.4.24) заклю­

чаем,

 

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

1т = Д (02 - 0х) + « 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P m

=

f%( 0 2 ~ ~ ® i ) +

0 ( 1 ) •

 

 

 

 

 

 

Следовательно, в силу (1.4.21),

 

 

 

 

 

1 Рсs

(Iх; ») =

к (02-0х) +

/2 (02 -

0i) 4- ®п,

(1.4.36))

где еп- » 0 , равномерно относительно tx и /2 из любого ко­ нечного интервала.

Таким образом, мы нашли второй сомножитель общего, члена суммы (1.4.3), а для первого сомножителя имеем

Рп(%, «2) =

п !

6М 02 -

0l)S2“ Sl ( l -

е2)n-Sp

 

Si! («2~ si)! (« -

«а) 1

 

 

_L

А ^ А ^2 •:

 

 

" «

V"0a(02— 91)(1 — ©2)

 

 

Х е х р

_ <*» ~ ^)2

_____ J*____

(1 + йл) >

(1.4.37)»

2 01

2 (02 — 02)

2 ( 1 - 0 ,)

 

 

€0

тде

по-прежнему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sx =

п

- f itl V

n ,

 

 

— X <

<

X ,

 

 

 

 

 

 

 

s2 =

 

n 02+

t2V~n ,

 

 

- X < 1 2< X ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Д tx =

Д t2

=

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y~n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

an-> 0

при

я с о .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, в силу (1.4.36) и (1.4.37),

 

 

 

 

 

 

lim Рп (0<?>, 0<jft

X) =

Ф (01э 02; X) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ехр

 

 

 

 

 

-------- ——

} х

2 те ]/ 0i(02—0х)(1 — 62),

 

'

2 0*

2(02-

0!)

 

 

 

2 ( 1-

02) ' Л

 

 

 

 

 

 

 

—X —X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X - [1 -

/х (02 -

9х) -

h (02

-

0х)1 di t d U .

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая

(1.4.34)

и (1.4.35)

и раскрывая скобки под

ин­

тегралом,

будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (01, 021X) =

2 т е ]/ 01(02 -

01)

(1

02)

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

7

 

 

 

п

 

 

%

-

Ч 2

п

 

 

 

 

 

 

x

j

J « P ( -

 

 

 

 

 

dtр

di*2

 

20!

 

 

2 (0а -

01)

2 ( 1 -

 

0.)

 

 

 

 

—X

—X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

оо

X X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ехр

 

 

J ]

X

 

2 те ]/ 01(03 -

 

01)(1 -

02)

 

 

 

 

 

 

 

v=0 — x — x

 

 

 

2 01.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ехр j —

2(1

*t

02)

 

1(4v +

2)X — tx -

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

2 (02- 0x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ехр

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

[(4 v -f- 4) X +

^

— /2]2

]+

 

2 0i

 

 

2 ( 1 - 0 0

 

 

 

2 (0a -

 

0i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

exp

 

J l _____

 

f2

 

 

 

,[(4 V +

2) X +

;* +

<,!»

 

 

 

 

fc2

 

 

 

 

2 (02-

 

0i)

 

 

 

 

201-

2(1 -

02)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61

 

exp

Г

t\

 

 

%

[ ( 4 v + 4 ) X - t i + t , ] r

dt1dt2

 

 

20x

2(1 -

02)

 

2 (0*— Эх)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

X

 

 

 

 

 

 

2 « K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0x <0* — ©i) (1 - 02)

 

 

 

 

 

 

X

 

X

 

 

 

 

 

 

/l)2

 

 

 

 

X

 

 

 

exp

 

t\

 

 

(t2 -

 

 

d / i d 12 —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■X

— X

 

 

2 0 x

 

 

2 ( 0 2 -

0 x )

 

2 ( 1

- 0 , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

X.

 

 

 

 

 

2те У

0i (02 -

0i)(A

-

 

 

 

 

 

ea)

 

 

 

 

 

 

 

00

X X

 

 

 

t?

 

t\

 

R4v+ 2 ) X - / x+ *2]2

X 2

> ,

 

;exp

 

 

 

 

' 2

 

 

 

 

26x

2(1 — 6,)

 

2 (02-

0!)

 

v^O—x —x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

 

t\

 

[ (4 v + 4) X — tx— (212

d'ti dt2 .

 

 

20x

2 (1 - 02)

 

2 (0, — 0x)

 

 

 

 

 

 

 

(1.4.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем это

выражение. Полагая,

как и раньше,

 

 

 

 

 

 

h — zi К 0х<1 — 0х) .

 

 

 

 

имеем

 

 

 

t2 =

22У 02(1 — ©i ),-

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

2

75 К

 

©х (02 -

© х ) ( 1

-

е 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

X

 

 

 

 

 

ti

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

__

 

__

{ /

^l)2

 

 

 

 

 

 

 

___________

<d ^x d 12

X

J

 

J

“ P

i -

2 6x

 

2(1 -

08)

 

2 (02— ©x)

 

— X — X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 01(1- 01)

/ 0в(1- в 1)'

 

 

 

 

 

' 2 теV "1 -

tf2

J

 

 

 

exp

{; —

у

0- (2j,- Zj)

} dZi dz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 0/ l - e i )

 

/ е 2( . i - 02)

 

 

 

 

62

Смотрите также файлы