Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
доверия построить на данном сегменте доверительную область
ДЛЯ f(x).
В § 4 исследуется локальная и глобальная точность одной непараметрической оценки плотности двумерного распределения, которая является двумерным аналогом оценки Р о з е н б л а т т а
[96].
|
|
|
§ 1. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ /„ (*) К /(*) |
|
||||||
|
|
П а р з е н о м |
[90] было доказано, |
что |
при некоторых усло |
|||||
виях fn(x)' по вероятности |
сходится |
к f(x) равномерно на всей |
||||||||
прямой. Условия сходимости с вероятностью 1 устанавливает |
||||||||||
|
|
Т е о р е м а |
2.1 [47]. |
Если |
|
|
|
|
|
|
1° |
К(х)—функция с ограниченным, изменением и JK ( x ) d x = l ; |
|||||||||
• |
( |
• |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
2° |
ряд |
—ynfl2 |
|
|
|
|
|
|
||
е |
сходится при любом у > |
|
||||||||
3° f(x) равномерно непрерывна на всей оси, |
|
|||||||||
то с вероятностью 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Vn= |
sup |
I fn(x)-f(x) | |
|
|||
сходится к нулю. |
x£Rl |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
^ |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть Vn — |
sup* I /„ (x) — E fn{x) J. |
|||||||
М / |
|
|
|
|
|
|
x^R1 |
|
||
Покажем, |
что |
с вероятностью |
1. В самом деле, |
применив |
||||||
формулу интегрирования по частям, находим,, что |
|
|||||||||
|
|
sup |
I fn(x )-E fn(x) | = |
sup |
|
|
|
|
||
|
|
: x£Rl |
|
x^R1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
- |
T . f |
|
|
^ |
sup |
Т | | Э Д - |
|||
|
|
|
x£Ri |
|
|
|||||
|
|
|
dK |
x —u |
< |
sup |
\ S n( x ) - F ( x ) \ |
- I j i , |
||
|
|
|
h |
|||||||
|
|
|
|
|
Vx £ R L |
i |
' |
h |
||
|
|
|
|
|
i |
|
|
. |
> |
(2. 1Л) |
68
где [х= Var K(x), Sn(x)- эмпирическая функция распределения, построенная по выборке, a F{x) ~ функция распределения X.
Нетрудно заметить, что
p { d „(0. 4 > |
|
- ^ |
} « : p |
{ « (0. i » - ^ } |
+ |
+ P { d - ( 0 |
, |
1 )> |
y = r J |
= 2 (1 -P * (X )), |
(2.1.2) |
D~(0, |
1) были |
определены |
в гл. I). |
Из |
известной |
формулы |
|||
Н. |
В. |
С м и р н о в а |
[57] (см. |
(1.1.3)), |
как |
показали |
Д в о р е ц |
||
кий , |
К и ф е р |
и В о л ь ф о в и ц [78], |
следует неравенство |
||||||
|
|
|
|
|
1— |
—aX2 |
|
(2.1.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
0 < а ^С 2, |
a |
ch |
1, здесь и ниже означает положительную |
|||||
константу. Тогда |
из (2.1.2) и (2.1.3) имеем |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.4) |
|
В силу (2.1.1) и (2.1.4), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
P { sup |fn(x)~ E fn(x) |> |
г] < |
|
|||
|
|
|
1 |
|
x^R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
< P |
|
sup [ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
{ x^ R 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство (2.1.5) с применением леммы Бореля-Кантелли
позволяет утверждать, что Vn стремится |
к нулю с вероятностью |
|||
1 при п—>~со. |
|
|
|
|
Для доказательства |
теоремы остается |
показать, |
что |
|
sup ] Е /„(* )—f(x) |->-0. |
Пусть S > 0 . |
Тогда, |
полагая |
М — |
x^R1 |
|
|
|
|
= max f(x), имеем |
|
|
|
' |
x£R' |
|
|
|
|
|
|
|
|
6» |
|
|
sup I E fn(x)— f(x) I < |
|
|
x^R1 |
^ |
sup |
dy + |
|
x^R1 |
|
4- |
sup |
|
|
|
> 8 |
^ |
sup |
sup \ f(x -y)-f(x)\ + 2 M \K(y)dy. (2. 1.6) |
|
X ^ R 1 |
\ у \ < ь |
|
|
\y\>m |
Пусть rj > 0 произвольно мало. При достаточно малом 5 > 0 первоз слагаемое в правой части (2. 1.6) меньше vj/2 ввиду рав номерной непрерывности f{x)\ для фиксированного § можно по добрать п столь большим, чтобы второй член правой части (2.1.6) также был меньше rj/2. Тогда из (2.1.6) следует
|
|
|
sup |Е fn(x)-f(x) |
|< |
7]. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x^R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Необходимо отметить, |
что условия |
теоремы |
в некотором |
|||||||||||
смысле |
неулучшаемы. |
Ш у с т е р |
доказал |
[98, 99], |
что если |
|||||||||
К(х) удовлетворяет |
условию 1° |
и |
некоторым |
дополнительным |
||||||||||
условиям, a h'n)—условию 2°, то |
для равномерной сходимости |
|||||||||||||
fn(x) к f(x) с вероятностью |
1 необходима |
равномерная |
непре |
|||||||||||
рывность |
f(x) на всей оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 2. ЛЕММА О ВЕРОЯТНОСТЯХ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИИ |
||||||||||||||
Вывод предельного |
распределения |
статистики, |
с |
помощью |
||||||||||
которой строятся |
доверительные |
области |
для |
f(x), |
основывается |
|||||||||
на ряде вспомогательных предложений. |
Основным |
из них явля |
||||||||||||
ется лемма 2.4 |
о вероятностях |
больших |
уклонений, |
которая |
||||||||||
представляет и самостоятельный интерес. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Предположим, что ядро К{х), которое, |
как |
было |
отмечено |
|||||||||||
в § 1, является борелевской функцией, |
интегрируемой по |
Л ебе |
||||||||||||
гу, удовлетворяет |
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
70
|
1. |
sup |
K(x) < |
со., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
К (х)= К (-х), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
lim |
хЩх) —О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Х ~ ± |
«5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Г K(x)dx=L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
От плотности f(x) будем требовать |
непрерывность |
и ограничен |
|||||||||||
ность на всей оси. |
Пусть, кроме того, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
min |
|
/( л :)= р .> 0. |
|
|
|
(А) |
||||
|
|
—°о<;а<■*<&< °° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Разделим |
сегмент [а, Ь] |
на s=s(n) |
отрезков Дх, ...,A S рав |
|||||||||
ной длины hQ:h0— l/s—------ Число |
отрезков |
s будет в даль- |
|
||||||||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нейшем расти вместе с ростом объема выборки п. |
|
|
|
||||||||||
|
Л е м м а |
2.1. |
При |
возрастании |
п, |
Е f^(x) -> |
f(x) |
и |
|||||
|
00 |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
J К2 ^Х — - j f(u)du-'f(x) |
J |
Кг (и) du |
равномерно |
по |
х, |
|||||||
— |
оо |
|
|
— |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
— о о < х < с о . |
2.2. |
Пусть |
tx, ... |
|
ts — середины |
интервалов |
|||||||
|
Л е м м а |
, |
|||||||||||
A i,...,A s и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn (tj) —Ешj n ( Q |
) = „ |
— 1 / 2 |
V |
' |
«(ЭД. |
j = ~ s , |
|
|||||
|
|
V b f n(t}) |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7^ |
|
i |
|
|
- v |
1* e ш |
|
|
|
||
|
|
j K2 |
|
|
|
f(u)du-h[ETn(tj)V |
|
|
|||||
h~^K ip -P L) - V h E U t ,)
(2 .2 .1)
Щ )
71