Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

* • - т 1 *

[ у * * • + - + ■ & * ) ' *№ " ' W

1< 02< 1.

Согласно лемме 2.3, имеем

|Л‘ |<С‘ -Йн 2

{

1

“

Н Й З Г

(2'2Л5)

г = 1

—со

в

|Л2К г —

exp jc 5e2r - j ^ - J < c 9-^L.

(2.2.16)

Собирая оценки

(2.2.15)

и (2.2.16),

из (2.2.12)

и (2.2.14) полу­

чим (2.2.13).

Исследуем

теперь

выражение,

стоящее в

правой

части

(2.2.8). При этом воспользуемся

результатом В.

В. С а з о н о в а

первыми и вторыми моментами, что и у случайного вектора £i-

Положим

7 „ ( x) = G„(x) +

Qn(x).

(2.2.17)

Тогда по теореме В. В. Сазонова для всех п, п==1, оо,

sup

I < Ш I <

с10 ( V

~

Р(/ )

1

(2.2.18)

x £ R r

дп

где

р (о _

^ I £а mi I3

Рл

(Е (|/х

т г)а 13/2 *

Дп—детерминант матрицы

корреляции случайного вектора

и

соответствующие миноры этого детерминанта.

Легко

заметить, что

1

E jlh — fflt)*

= cu / г 1/2-/===■ C

c ,hr1/2» •

си

у г

[E g a -m f}* !*

УЩп

12'

1 = 1,

Г,

(2.2.19)

» и

AW

тпри возрастании

п.

An

.=1

Согласно (2.2.19), из (2.2.18) имеем

sup |Qn(x) |<

clz(nh)~1!2.

(2.2.20)

x^Rr

P'n=(Rn)ne—n(in , Еп)

е~Ы ' у)УпйОп(у) +

нп

+

I в (Zn' y)VndQ M

=7i + / 2.

(2 .2.21)

Нп

В первую

очередь оценим / 2.

Пользуясь теоремой о замене

переменных в интеграле Ле­

J

. у)У~пdQn (У)

< cu(nh)-yl2.

(2.2. 22)

Нп

Множитель (# п)” ехр [—п(хп,

£ „)],

входящий в / 2,

представим

в виде exp }n[log Rn— (хп, £ „ )]} .

На основании

лемм

2.2 и

2.3 легко показать, что

п [log Rn- (т„,

Еп)] = -

X’ + 0(е„Х 1)+ 0

•

(2-2.23)

Следовательно, в силу (2.2.22) и (2.2.23),

,* - ° ( Й г “ ,,Н т } ) -

<2-2-24)

Перейдем к вычислению

главного члена в / г

Обозначим

£«(*) =

1

ехр { -

—

2 дuxtxi\

(2к)г12 У

Д„

2Д„

t, /

1

exp

{ - 4 -

<*. *)

(2 .2 .2 5 )

(2«)■ПП

'< I

5

J

- щ * - exp { |3” !-

4 “ <ж’ X)1 <

^

I

8

n ( x ) I

(2.2.31)

— exp

(2%)rl2

так как |.e*— Г| ^

|x |eЫ при любом

x.

Таким образом,

j* exp j —^ (X i+ . . . + * , ) —

(x, x)j(;<,x)dx=0^-L

(2.2.34)

Hn

' *

'