Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

s „ = max

|Rtj |< csK* ( - У + 0(A),

(2.2.2)

1< 1, /<s

\h )

R(t{, t,)=

j

K(u)K

[Ь -Л . - u

) f(tt-uh)du-

- h

E

f n(tt)E tn(t,)

/ dn(tt) dn(t})..

Нетрудно

заметить,

что

s„ ^

sup

f(x)

max

l K(u) К

i i — U| du

x^R1

1<i, /'<s

J

iФ/

—oo

+ 0(h) / dn(tt) d ^ .

В силу условия (Л) и леммы

2.1,

для достаточно больших

п будем иметь

en ^ с4

max

Г /C(u) ДГ (

du+0(h).

(2.2.3)

1<г, j<s

J

<Ф/ —с

Поскольку

min

|

|

10 из (2-2.3) получим

1< /, /<s

' hn

+

0(A).

(-Д)

Лемма доказана.

h

С л е д с т в и е .

Если k jh -^c о ,

тогда

Если же

гп—о ( — I.

Л е м м а 2.3. С вероятностью 1,. max

sup

[

^

< С6Л"1/а.

х£[а,

6]

Рассмотрим последовательность независимых г-мерных (1

^ г ^ s) случайных векторов

Ь=[5(Ж ) ,.... ■?(i)(^)]v

1= Гл,.

Vn(x),

х £ Rr.

имеющих одну и ту же функцию

распределения

Легко заметить, что для достаточно

большого п распределение

невырождено.

Обозначим

Wn{x), х £ Rr, функцию распределения

суммы

^ !+ ... + ?п и

Fn(x) ~~ функцию

распределения

нормированной,

суммы

Vп

Таким образом, имеем

Fn(x)=Wn{V n x ).

(2.2.4)'

Pn = R {\ U Q \ > K i = l ~ } = -

t2]

dt^r

1+ 0 <8“ ч , +

0 ' т 1 г )

+-

" 7 S - .

ехр

2

h

1

exp { —r

+ 0 \Vnh

З а м е ч а н и е .

Доказательство леммы 2.4

существенно не-

изменится, если вместо

первых

г нормированных

отклонений

£*»(^i)> •••> £п(^-)

взять какие-либо г нормированных

отклонений

§n(/v

) (Jfex,

-л ю б ы е

комбинации

г чисел

из по­

следовательности 1, ..., S).

Д о к а з а т е л ь с т в о

леммы

основано на

применении со­

пряженных распределений,

введенных К р а м е р о м

[13].

Пусть

Vn(x) —функция распределения,

сопряженная к Кп(х):

—

1

Г

у)

Vn(x)= —

\ е

dVn(y),

где

R n=

{ J z’ y)dVn(y),

Рассмотрим

последовательность

5у = ( 1ц, ...,£;■/)»

/ =

1,

со,

независимых случайных векторов, имеющих одну

и ту же фун­

кцию распределения Уп{х) ю вектором

средних Еп=(т1, ...,тг),

где

т1 = ^

; j = l , г,

и матрицей ковариации

|!^?^)||,

где

dXi

д2 log R n

t, / = 1, г.

dxi дх{

Обозначим] lt^n (х)

функцию

распределения

суммы

+

+

••• +

%п !"и

(*) — функцию

распределения

нормированной

суммы

пЕп

Таким образом,

У п

Fn{x) = Wn(x V

п +

пЕп).

(2.2.5)

Следуя

Крамеру,

легко можно установить связь

между

Wn(x)

и Wn(x)

Wn(x) = (Rnr

Г с

(%У) dWn(y).

(2.2.6)

(ЯпГ е ~ ^ ’ Еп) f

е - * ' у) Vn dFn(y).

(2.2.7)

*) J означает интегрирование по

г-мерному интервалу

(— оо, х).

---QO

и ,

Рп’ = Р « _1/г

i= 1

m

h) >

к

k = r ?

= f dFn(x) =

т*

= (Rn)ne

n(Z’ En)

f e“

(x’

y)V ndFn(y),

(2.2.8)

Hn

где Ts = (ks, ..., Xs)

и Hn= T S—Vn En = (\s—V~nrnu...,\s—Vnmr).

Обозначим

t = t ” = (

т г

—

' - Й г ) ’

где

Исследуем P'n.

Покажем, что

K 7 m i= X , +

0 (e„X .) + 0 ( щ

) ,

i = ~ r ,

(2.2.9)

tHO i,

i = l ,

г.

Действительно,

00

К ~ т г= И-JL

f ^.e( ' " ,;CW

n(x) =

J

со

со

R,

xi*1dKn(A :)+ ...+

j*

x?dKn(x) + ... + j*

dVn(x) +

'

^ n

^ Xi(rn,x)2e ^

’

W n(x)=

— -(R irh -..+R it+ ...+

2

R„

R„

Y n

xt(tn, x)2 e l (Xn’ X)dVn{x),

(2.2.10)

-+Rlr) + ~2RT

; V ПrXl l

I xtI

(x,

X) е ‘ Ы ’ X)dVn(x) <

(2.2.11)

<

C,

exp

[ rcOi

}

f

(x, x) dVn(x) < c 7

КЯЛ

Ч

5

V

^ j

У nh

Rn= \ + 0

n

(2 .2 . 12)

Наконец,

ввиду (2.2.11) и (2.2.12),

из (2.2.10) получим

(2.2.9).

Рассуждая так же, как при выводе (2.2.9),

будем иметь-

где

£|/(л )=Я ,/+ *’,/.

I, i= ~ r ,

(2.2.13):

Rtl= |

xtx,dVn(x)

и

11ЧI <

с8 р =

, -

ос

J*x;x^eЫ ,X) dVn(x)

— ^

хгХу<1Кп(х)-|- Ax-j-A2, (2.2.14)

— оо

— оо

где

оо

J *'*/ ( “ ( 7 ^

+

•••+

dVn(x)

— оо

и