Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Из соотношений (2.2.23),,

(2.2.32)

и (2.2.34)

можно заклю­

чить, что

exp {« [lo g # „ — (*„, Еп)\

ехР {—

("„> x )V п } Ln(x)dx

Нп

re„

1

г

г

5 t —

(2jс)'/2

ч -

ехр {■~

т

(—

X

—

)

-

1

1DO

* /

Г ехр

2

r,

(2.2.35)

U

s .

где

0<

e "= c 2

20 Vnh “1“

С другой

стороны, нетрудно

заметить, что

/ 2= ехр {п [log Rn- ( тя, £ „)]

‘

1

(2тс)г/2 X

х

J

exp j

— A ,(J f1+

. „ +

x r )

— — (X, x ) |

dx=

Hn

СО

= ехр |л [log /?я- ( т я, £ „)] +

-L XS2J

expj* j -

| -j dt

1+

xs

+o(<»4)+°ш

г

(2.2.36)

Далее, принимая во внимание (2.2.23)

и (2.2.36),

после очевид­

ных упрощений найдем

оо

р

г

dt

0(en^s)+ C)

~2

l +

(2.2.37)

Таким образом, в силу (2.2.21), (2.2.35)

и (2.2.37),

из

(2.2.41)

для достаточно

больших п следует

6. Г. М. Мания

81

Pn

1

\ e xP

| d t V f 1+ 0 ( « * Ч ) + 0

tynh

+

{V2n

j

I .

+0Ызгexp } -rf

(2.2.38)

Наконец,

рассуждая

так

же,

как это

делается

в работе

Н. В. Смирнова [54], из (2.2.38) получим

Р" ’

Р { h \ t

«’<'*>

> К +

k = l, г

ОО

i= l

= ( й И ехр{ - т К

r+0<*"4 ,+ 0 (l7§r

4-

+

О ( — 1_- ехр |— г —

(2.2.39)

^

\Vrih

2

Лемма доказана.

Е",

i= 1, s,

Пусть

дана последовательность

серий

событий

п — 1,

со,

причем

5->оо,

при п-+оо.

Обозначим

.Яг 0 ^

®i <

< a 2< . . . < : « r^ s )

вероятность

совместного осуществления

собы­

тий

, ...,Еаг и положим

Vr(Sn) =

^

Pai...ar-

р х('') = ^ г

Г = 0,

со.

г!

S

[ 88 ]).

Л е м м а

2.5 (

М и з е с

2

^ s(4)

т

а

- V thPx(t),

* = 0 ,

со, при п-+со,

то

Я'

t=0,

a .

(2 .2 .4 0 )

Нш Pa(t)=Pk(t) = — er\

Й —*-оо

П

По методу Н.

В. С м и р н о в а

[54] можно доказать следую­

щую лемму.

Л е м м а 2.6.

Если для всякого

фиксированного г, г—0, со,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Введем производящую

функцию ве­

роятностей Р,(г)

s

Ф , ( 0 = ^

Я .(г)(/+ 1 Г .

(2.2.41)

Покажем

(аналогичное преобразование сделано у

Н. В. Смир­

нова [54]),

что

S

? .(*)=

^

vr(s )r .

(2.2.42)

р .<г) - е

{

^

/=1

Ч < - ••<*»•

fc=l

J

где t\,

образуют

группу

из г чисел, взятых

из последова­

тельности

l , ... ,s ,

а ]\,... . / ^

—дополнительную

группу.

V,(S)=E j

2

гЯ1...аг

4 < а 1< ...< а г < s

где za _ _ ,г — индикатор

события

Г

f| Е% .

г

/= 1

1 /=1

’

/=1

S

=

^

Ms)tr-

Таким образом, (2.2.42)

доказано.

Из (2.2.41) и (2.2.42)

вытекает, что

S

S

V,(s)P.

/■=0

г^О

S

V ,(s)= ^

СхРв(х).

lim vr(s)=

lim

V

C£Ps(x )= — .

(2.2.43)

/l— оо

я — oo

j b J

г !

2

Р Л М

- £

2

^

4

-

(2.2.44,

*= г

д:= г

Из (2.2.43)

и (2.2.44) следует, что

S

00

Km ^

с ^

) =

2 СГхР%{х)'

(2’2,45)

Левая и правая суммы в соотношении (2.2.45) означают с о ­

ответственно факториальные моменты г-го

порядка распределе­

ний {Р4(х)} и {Ря(х)} с точностью

до множителя — .

Но

факто-

г!

риальные моменты г-го

порядка распределений (Ps(x )} и

(Рх(х )}

есть линейные функции моментов первых г порядков

соответст­

вующих распределений.

Тем самым лемма доказана.

v,(s) = C' {

(

ехр J - ~ \ d x '

1 +

0(enХ|) +

]/г2п

Ц\'

0

i

F

§

r

e

x

p

!

- (2.r3.1)f

+ 0

nh

+

Л е м м а

2.7.

Если

выполняются

условия леммы

2.4 при

X

1

1

СО

х2 \

где I,—корень уравнения

С

(

X, = ls- j - — ,

s

\ ехр

— I dx

h

у 2% J

[

2 J

и — о о < Х < о о ,

mo

(21-^у

при

возраста-

vr(s)-^vr= - ------(г= 0, со)

нии п.

г1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим,

что

ls =

] / 2 log s —

In

In s 4- log 4я

,

1

\

,

. . . .

.....

т.

e.

,

---------- - 7==-^-------

+ 0

-------- ( c m .

[14], стр.

410),

Xs=

2V log s

V log s у

exp

-{ - —

_

,

W

y k J

1 dx— exp

*I

2T

1+

o a / ' B ? i ) "

K 2*X S

(

1

Для

доказательства

леммы 2.7

достаточно

утвер-

+ 0

X! .

S/ .

ждать, что

оо

Г

ехр

lim

СС ( —Д = -

(2 .3 .2 )

« - « ,

\ V 2 tc J