Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

<?(«)=П Щ

2

b v

“«)=

/=1

\д=1

= 1 1

| 6ХР

hi ич +

/ = I

Jr rn).\

^

i bqj Uq

Ввиду ортогональности

В

s

Г s

Т

Г

s

“I

V

V

bqj uq

С

Х \ ьд, ия =

/ =IL - ?=I

J

9=1

J

s

s

s

= ^

S bHbr iu‘ Cup=

1

Z,p=l

/= 1

74 bPi~~

= V

М/С Ир §гр = 2

«? C “ ?•

/,р=1

р=1

где Ъ1р—символ Кронекера.

Стало

быть

lim

<p(u) = TT exp

( — i -

ugCuq )

min Л; —00

"ITj

l

^

J

Теорема 5.8 доказана.

Это же доказательство

с

несущественными изменениями

можно было

провести для сравнения предельного при min пг-> оо

распределения статистики

2

ni ^ { У ) ~ т ? Н ( х ;

Q)dx

i =

1

с предельным при п —>- оо

распределением статистики

п \\f(x)— f(x)\2H(x-,Q)dx,

при

выполнении

условия

7°

(теоремы 5.6) вместо условия

2°

(теоремы 5.5). Первое окажется

(s— 1)-кратной

сверткой распре­

деления FH(u) из

(5.4.7).

внести и в Н(х; 0).

Более того, случайность можно

Пусть

Н(х\ t)

определена для t ££/е,е

и выполнено

условие

8° почти всюду по х,

^

Х’

*-^ .Н 0(х) и Н(х; t) непрерывна

no^t

в t/0>e.

Я ( х; 0)

Обозначим

-1

-^-[Я (х;0О )]-1

Я (* ) = { ^

п

и

Ф(0<1),...,0<5);;Я )= 2

П,-

[/^(JC)— /(^ )]а Я(АГ) Лс.

(5.5.3)

/ =

1

Очевидно, что при

условии 8°

р lim Н (х)=Н (х) *>

min щ — со

и, если

0(() 6 Я0,е,

i = 1, s,

что

при достаточно большом

min

щ

верно

со

сколь угодно большой вероятностью, то

i

Н(х)

< Я 0(х).

Я (х; 0)

Пусть выполнено условие

9°

почти всюду по

х,

| аг(х;

t) \^ G(x;

0) £ L2 (Я Я 0)

и

х; t) непрерывна по t

в t/e_E,

i =

l,m,

и 0* 6 ^ 9,е причем р lim

0* = 0.

m in п,- —

оо

Поскольку

|а{(х; 0*) а, (х; 0*) Я (х ) | < G2(х; 0)

Я(х; 0) <

Я (х ;

0)

М ; ‘. ■ И,

■г ' ” -

Г Л А В А VI .

! ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ

НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Конкретизация тех свойств

параметрической

оценки

плот­

ности распределения,

которые

в общих

чертах

изучались в;

гл. V, наиболее интересна для плотности

нормального распре­

деления. Надо отметить, что результаты

гл. V

возникли

как.

обобщения соответствующих результатов для нормальной

плот­

ложение

которой существенно

упрощается систематическим*,

использованием обозначений и теорем из гл. V.

В

первых работах по тематике гл. VI изучались моменты

и с. к.

п.

параметрических

оценок

плотностей

одномерного*

[27, 28,

30]

и двумерного [29,

33,

34]

нормального

распределе­

распределением с.

к.

п. Это

утверждение оказалось

верным и:

для двумерного нормального распределения [67].

Предельному

распределению

с. к. п.

оценок

плотности*

многомерного

нормального

распределения

посвящены работы

[37 — 43], а их моментам — работа

[69].

Теорема

5.8

из гл. V о соотношении

между предельными*

распределениями [с.

к. р.

Нескольких параметрических ’[оценок,

плотности, и с.

к.

п.

впервые

была

доказана в [44]

для одно­