Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Пусть

f(x\ t),

где

X £ R1,

t = (tu у

£ Г =

R1X

R1+

и

R1+ = [ t2: 0 <

< [ оо },

является

плотностью

нормального

распределения, т.

е ч

f(x; t)*4n(x\tltti) =

1

(х ~

ti)2

|

К 2 тс t2

2 12

I

'

Пусть,

далее, 0 = (а, с) £ Т,

случайная

величина X

имеет

плотность

п(х\ а, с)

и

Ха,

а =

1, п ,

является

выборкой

из

совокупности X. Поскольку

Е X =

а

и

а2 =

Е (X — а)2 =

с,

в

«=1

Так как

:f*{c>>0'}

= .1

(мера Р определена в §

1

гл.

V), то

оценка

0 =

( а , с )

параметра

0 с

.вероятностью

1

нахо­

дится в

Г

и

п (х |а,<с) = п(х\ а , с )

является параметрической оценкой нормальной плотности.

Сначала вычислим

математическое ожидание

и дисперсию

л (х\ а ,

с).

Прежде чем перейти к применению

теоремы 5.1,

■сведем задачу к случаю

стандартного

нормального распределе­

ния, т. е. к случаю,

когда а — 0

и с = 1 .

п (х |а, с) =

х — а

Q, 3

(6.1.1)

V ~ c

\ У <С

Случайная величина

Y —

распределена нормаль-

V -с

н о с параметрами (0,1) -и

¥ а

, « = 1,п,

являет-

V

:С

п(х\,аЛ ) = Д , — Д в х р ( _

<* - “ -

f c

/2 л С ~

2 с с„

1

х — а

х — а

1

(6 . 1.2 )

У с

\ У -с

ав1:^0

У с \ у с

0.

'Стало быть,

„

,

,

ч

1

Е.тг

х — а

о,

1

(6.1.3)

Е п(х

[ а,

с) =

— Г- =

У ~ с

ж

У-с

D п (х [а, с) =

-1-D

я I— -7=-— ■0, Ч

.

(6.1.4)

V

\

V

'С

Как известно

[14],«случайные

величины

а0

и с0

неза

висимы,

причем а0 имеет

плотность

п [

и

1

О, — • , и в R1, а

п I

,h = (п — 1) с0 — плотность

у2 с

я — 1

-степенями свободы

1

/ 2- 1Х е- а /2

V > 0 ,

,

g ( V

П

.1) =

2п-Лр

п — 1

0 , V ^ 0 .

Для моментов

а0 и

ft имеем

[10, 14]

_

_

1

_

<0,

_

15

Е а0 = !0.,

Еа% —

Е-а3 =

Е о ‘ =

у

Eh =

п -

1 ,

E(ft

— E ft)2

=

2 (те -

1),

:Е (ft -

Е ft)3 =

8 (я -- 1 ),

Е (ft -

Е ft)6

=

О (те3) .

Отсюда

Е С0 —

1 ,;

Е ( с 0 -

1)2

=

Г

Г*

— "

~h О I

2

П '—

1

п

\

п"

Е (с0 -

I)3 =

О ( п2 ,

,

Е (С о -

1)6

=

0 [ ^ -

Ввиду независимости и несмещенности а0 и с0

Еа"0 (с0

-

1) = Е а* (с0 — 1) =

Е а0 (с0 — I)2 = 0 .

Приступим к проверке условия 4.

Случайная,

величина

h — (п

1)

с0 имеет плотность.

1

с0 =

—

h

, то

g(v\n — 1 ). Поскольку

у

п (х\0,

1) = п\х I а0,

h

п — 1

и

fi2 (*| 0, l)dP =

Л,?

=

f

я’ (*

i и, “

■])“

( “

10, — I f(vl я — 1) du do.

! ( “■

'»

> £o

Оценим

n2

( x

I

и ,

£

(у |/г -

1):

n — 1

X

exp (

га — 1

(х -

и)2

у ( п - З ) /2 - 1 e -v/ 2

------ п

1

2П-3/2

р

2

7С

g (v |га — 3 ),

га ^ 4 .

п 1

2 л

Существует такое е1: ' что

и,

(0, 1)

> ® о

<=.{ И >

eil X

га—

•1 > <

11 •

га — 1

,1

Поэтому, если h° означает случайную

величину с плот­

ностью

g (v |га — 3),

то

п2 (х |0, l ) d P < - 2^ - P { | a 0 | > £l}P

h°

1 1> ех

— 1

га

Согласно неравенству

Чебышева

Р { I о!» I > £i 1 < -П " Е ”«о = о 1 1

6i

га

К

> е х } = Р { | А 0 - ( я - 3 ) - 2 | > ( я - 1 ) в1} <

га — 1

< - 7 7 -------т -

[Е(Л“ -ЕА®)»

+ 4] =

е? (га — I)2

,

=

2 ( г а - 3 ) + 4! _ п / 1 \

е2 (га — I)2

\ га2 /

'Следовательно,

J ra2 ( x | 0 , l ) d P

=

O

.

т

Нетрудно

проверить,

что

производные

га (х |tx, t2) по

tr

и t2 удовлетворяют условию 3

теоремы 5.1.

Нам необходимы

значения некоторых

из

них в

точке

0О= (0,

1).

Опуская под­

робности

вычисления,

имеем

:'г)■i .

:

i