Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

«1 (*;

в0) =

дп

=

хп (х |0,1) ,,

/0 О.

аи (х » ®о) —

д2п

= (л:2 — 1)п(х |О,Л) ;•

1 W

й2 (х

; 0О) —

дп

п (х \О, 1)

д t2

1и0

а22 (х ;

0О) —

'' д2п

/ е 0

xv — 6 х 2 +

3

п (х |0,1)

dt\

4

Применим теперь формулу (5.2.2)

Е п (х |0,

1) = п (х |0,

1) +

х 2 —

1

1

2 1

+

Л(*|0,

1

) у

------------

+ ± ( х * - 6 х 2 +

3 ) ±

+ 0 - Т »

п

4

п

=

п(х I О,

1)

| 1

+

- - L -

(х* - 4 л:2 + 1)) +

о

1

12’

Д ля дисперсии из (5.2.3)

следует

= п(х\а,с)\ 1 +

1 (х — a f

(х — а)2’

+ 0

1 '

п

;

4 V-------- - 4 - 1 .

(6.1.5)-

4

е

D п (х[а, с) =

2 ^ « 2 ( * К К

(х - аУ

О

(6. 1. 6)/

Ф ( а , с )

= п \ [ п ( х |а, с) —

п { х \а,, с) ]2d x .

(6.1.7)<

Из (6.1.1)

и (6.1.2) ясно, что

00

Ф (а , с)

(х—а

0О. Ч —п х—а о, г

2

d x =

к 7 Т

1

(6 . 1.8)

Ф («0т Со) ■

п (1 +

У V0 , Г

2

2( 1+с 0)

J

Ф ( 0 О. с0) =

V

1 г

С„ еХР

V * \

(6.1.9>

Используя (6.1.8)

и соотношения а0 =

•а —а-

,. с0 =

,.

у С

сается

случайной

величины

Y п (с 0 —

1),

то из свойств рас­

пределения х 2 следует, что ее

распределение сходится к

N(0,2).

Стметим

еще раз,,

что

а0 и

с0

независимы.

Обозначим

Ф ( а 0, си) = п х '( а0, с0) .

,

/ д2 w \

1

1

\ ди\ )в0

2V л

/ д2 w \

_

3

1

.

16 K

V

( - £ ± Л

= о " Г

Применяя теперь утверждение б) теоремы 5,4, мы придем

ж заключению,

что распределение

Ф (а^,

с^) =

nw (а , с ) с х о ­

дится к распределению квадратичной формы

1

4]/"п

■от независимых

случайных величин

£ и

-ц ,

распределенных

lim Р {Ф( а0 , с0) < « } _ р f

1

f ■ з у]2

< и

1Х-*оо

I

Обозначим

<“ > " р { т у т ( “ + Т ” *) •= “ } ■

Имеем

Fi ( « ) =

Т т Г jj ехр { “

d xd y '

(6Л Л 0)

•4jc2

3 < 16 V ~ u

7™

7 s)) =

S

00

=

П( J

[п(х |а(1), c(i>)

— п (х) ]2 dх =

£= I

-- 00

y

5

1

(

i

щ

V

1 2 и (сФ)1/2

_

V T - у

n i Uj

К - Д / ) 2

11

П

JmJ

(7<5; +

^Г/))1/2

2 ( с(') + cfft)

J J ’

где

i'./= 1

п =

« г n(‘>(х |а, с ) .

Из теорем 5.8 и 6.2 следует

Т е о р е м а

6.3

[44].

Предельное распределение

G<p(и)

с. к. р. s параметрических

оценок

плотности

п(х \а, с)

зада-

ется соотношением

G<? (и) = Иш

V { V

г'Ф (с(1),

с*1»

.., .^ s>, > > ) <

и) = Л *-1»* (и) ,

ГШП П / --

(6.1..13)

i

где

Рг(и) определяется’ из (6.1.11)..

В частностиг [35]

ОО

G(*>(u)

=

Иш

Р ( — lHJ -.

Г [л(х| Л 1* ,^ 1» ) -

« 1, n2-*co [ п-у + п2 J

— п (х ); а^У,

е<2> ) ]2 dx <

и |

— Fx (и) ..