Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Н т

Р \V

С Ф ( aw

, ^

2>,..., aW . ? U ) ) < m} = fif - D*

(и) .

min щ

(6.1.15)

Последнее соотношение ценно тем,

что с. к. р. с

множи­

телем

V с

не

зависит

от

параметров

а и с. С помощью

(6.1.15)

можно

построить критерий для

проверки

гипотезы об

однородности

нескольких

независимых

нормальных

совокуп­

ностей.

Выше мы записали F1(u) в виде интеграла (6.1.11).

Ана­

логичное выражение

можно получить и для G(p (и)

при

s > 2,

т. е. для сверток Fr(u) с самим собой.

Так как

F1(u)

является

функцией

распределения случай­

ной величины

------\ = - { £2 +

tj2 V где £ и я — независимые

4у

к

\

4 )

случайные

величины

со

стандартным нормальным распределе­

нием, то F^-1)* (и)

представляет собой

функцию

распределе­

ния суммы

Здесь случайные

величины

независимы

и имеют стандартное нормальное распределение. Итак,

S— 1

(g? + yfd< UJ=

л - 1)* (и) = G<|> (U) = Р

{

2

2(s—1)

/ = 1

=

(2 tc)~(s-1>J •••Jexp

— L ^ ( u ? + u f )

йиг' •-dUg^ dv-L••■dvs_1.

i= 1

Переход к

полярным

координатам приводит к: форму­

ле

[44]:

s—1

X ( 8 V~ZuY | 4 — J J s in 2 (?{

[ d<Pi ••• d<pa^ *K (6.1.16)

Пусть случайный вектор

X = ( Х1 ? ... , Xh) имеет

незави­

симые

компоненты и Х{ подчиняется

нормальному

распределе­

нию с

параметрами at

и ch

(а„

cj) £ Т (множество Т определено

в §

1). Обозначим

U — (й^ 1 ... ) йд) , С — (С-^, ... , Cfr) .

Плотность вектора X равна произведению плотностей ком­

понент

п{х |й, с) =

п (*! |аи с,) ■■■п(хк |ah, ск) ,

где

х =* (хг , ... , хк) .

По

выборке

Х (а} =

(Х 1(а, , . . . ,

ХШ)) ,

а =

1,

п из

генеральной

совокупности X

построим

оценки

гГ(х{ |ah С;) =

п(х11йТ, cj)

плотностей п {х |аг, сг),

где

*)

(J(f) (и)

табулирована при s =« 3, 4

(см. таблицы 7,

8).

п(х'\а ,1 ) = п(х11'flj, c j ■■■n(xh|Я

,7 ^ .

В первую очередь вычислим моменты

п (х |а, с) .

Вое

пользуемся тем, что для независимых случайных величин

Е Zx ■•- Zh — Е Zx ■■•Е Zk,

D Zx ••• Z* =

E Z* ••• E Z\ — (E Zxf •••(E Zkf

=

=

[D Z\ +

(E Zxf] ••• [D Zl + (E Zft)2] -

(E Zxf

■■•(E Zkf =

k

т=1

!<»!<• •

Х ( Е

Z

i r ---(E Z hf .

Поскольку при фиксированном x оценки

n(xl \a1, cx ) , ...

. . . ,

n ( xh |ah, ck)

являются независимыми

величинами,

то из

теоремы

6.1. следует

Т е о р е м а

6.4. Для параметрической

оценки плотности

п (х |я, с)

k-мерного нормального распределения с независимыми

компонентами

имеем

Е п (х |а, с) = п (х |а, с ) I 1 - f _L_

4 п

(6.2. 1)

и

D п (х |а, с) =

=

2 п ” 2

I й'

(6 .2 .2)

С0

~

(^ 1 0

1 • • •

> СА о ) ' Ci0 =

^ I

i =

I , k

>

а0 ~

(^ю 1

>^ао) > ®io = 0, t =

k .

Вектор

Y =

( -^ г—

= ^ - )

имеет

плот*

п (х I

I

К п

K c ft

j

ность

а0,

с0) .

Набор векторов

Г (а) =

(К1(а), ...,

Г й(а))

=

_

f^-Ua) __±h_

^^Ма) __t

а =

1 , я ,

представляет

со-

\

Г

С1

К с а

/

бой выборку из Y. Пусть символы

а0 =

(а10,

,

ak0)

и

с0

=

= ( с10,... , ch0)

обозначают

оценки,

соответствующие

оценкам

а

и

с

при

а =

а0

и с =

с0.

При

этом

а,- =

| /с;

а10

и

С; — С; Cjq,

i — 1 , k .

Очевидно,

что

ф (o',

c ) = n

[n(*i|a'i,'ci) • •• я (*а К

,^а) -

п (хг |а15

Cj) •••п (xk |aft, ch) ]2 dx

—

= -

1

г-Ф ( а0 /с 0) .

(6.2.3)

У ci

ch

Вычисления показывают

ф К

,

Со)

1

+

2fe rcfe/2

ТО '

■ ■ СА0

-2*'2+1 П

(1 +

Сг0)_1/2ехр

' V

а'о

I

1=1

2

^

1 +

^

1=1

Так

же, как

и в § 2, для исследования предельного

рас ­

пределения

Ф (а ,

с0)

введем функцию

1

Г .

1

w(u, V) =

Ы)(иъ

... ,vh) =

2k7Zkl2 [

1

Vv 1••• V k

к

k

2 V m n

(

, +

0j)- „ S e x p j _

1 = 1

„

I.

1=1

*