Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

В терминах

w (и, v)

ф ( «о- со) = n w ( a 0, 7 0 ) .

Случайные векторы

V п ( ai0,

( ci0 —

1))

независимы и

имеют независимые компоненты, которые

в пределе подчиняют­

ся

распределениям

N (0,

1) и соответственно

N(0 , 2 ) .

Для применения

теоремы

5.4

нужно

вычислить частные

производные

второго

порядка

функции

w (и, v)

в точке 0О =

=

(a0,

с0) £ R2k. Сама функция

и ее

первые

производные равны

нулю в 0О. Имеем

д2 w

d2w \

3

ди}

2k7Zkl2

dvf

J в0“

2Й+Зя*/2

д2 w

1

Ф j ;

{■

d^w

= 0, i,i = l, k.

д vt д Vj j о0

2ft+3 r?l2 '

'

\dut dv0J o0

Согласно теореме 5.4,

предельное распределение Ф(а0 , с0) =

— п w ( а0,

с0) совпадает

с распределением квадратичной формы

1

1

3

vl +

2

2ктс*/2

2*+3 rSl2

1

k

+

(6.2.4)

2ft+3 в */*

i,i= 1

ф /

тде

, ...

,

5ft, fh , ...,

— независимые

случайные величины,

причем

4i

имеет

распределение

jV (0, 1),

а

щ — N (0, 2).

Если вместо

ввести случайную величину •qi =

—^Lr, имею­

k

k

k

i= l

* 4 ,)

(6-2-5)

/= l

i.i= 1

jФ]

от независимых случайных величин £х, .... , £й,

Чг, ••• >Чк > имею­

щих стандартное нормальное распределение.

Обозначим

3,

1, ... „1

S =

1,

3 ------- 1

(6.2.6)

1,

1 ,

, 3

и Ч = f t i,

••• »Чк)«

Тогда

(6.2.5) примет вид

2к+3 л*/2

( 4 S

^ + 4 5 Ч)

1

+

# i ,

1

> 1

+ аг >••• г ^

ч ■••

* +

—

+ '

+ —

)• (6-2.7)

1, ... , 1 -)- ак

а

1,

Следовательно,

характеристическое

уравнение матрицы 5 ,

|S — X / | =

О, где

/ — единичная матрица, имеет вид

Отсюда

(2 - X )*-1 ( k + 2 — X) = 0 .

X, -------------- Х*_х =

2 ,

Xfc = *

+ 2

(6.2.8)

и, согласно

теореме 5.2,

k—1

rl'S.r1= 2 J

l 3

+ ( * + 2 ) ! 3 ,

1^1

где

Ci,... , С* — независимые

случайные

величины со

стандарт­

ным нормальным распределением.

Обозначим

I

(£ + 2)С| +

Hk(u)

2h+s%kiz

k—l

к

+ 2 V

С? + 4

< а I , а > О

i= I

i= 1

Hk(u) =

exp

1

s

( и ? +

(2

_

i= l

D '

+ 0?)

d иг ••■d u h d v x ■ ■•d v h ,

(k + 2) u* + 2 V

Bf + 4 ] ► ] » ? < 2ft+3 71,4/2 w

i=2

j= l

2fe (й -

я/2

тс/2

fe

Я*(и) =

1)!

| [

sin2h“ 1’" 1 срг

| 1

л*/2 Г

k

О

О

t = l

— exp

— 2ft+2 nhl2 ^ 2 +

k cos2 cpx +

2 J J sin2

j u

X

/=1

x

^

- i - 2«<+1)‘ +M

u* | 1

+ -|L cos2

+

i=0

k

+

IX sin2cpi j

dsp! ••• dcpk. *)

(6.2.9)

i= l

*)

Функция Hh (и)

табулирована при k=2, 3 (см.

таблицы19,

10 в-

lim

Р [ Ф ( а 0, с^) < и] =

Hk {и) -

П~*со

Отсюда и из (6.2.3) вытекает

Т е о р е м а

6.5. Предельное

распределение с. к. п. пара­

lim

Р { У q •■•ckФ ( а ,

с ) << и ) =

Hk (и) ,

(6.2.10)

где Hh(u) определяются из (6.2.9).

Следует

отметить,

что

так

же,

как и в случае

(ы)

(§

1), представление

Hh(u)

в виде ряда можно получить

по

теореме

Гурланда (§

2 главы V).

§ 3.

МОМЕНТЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ

МНОГОМЕРНОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Обозначим

t =

(г, s),

где

г — (гъ ..., rh) £ Rk,

a

s =

=

(su> •••>

S12. .... V

o

ft)

€

E

c

Rh(h+1)l2.

Здесь

E

сос­

тоит из таких s, для которых матрица

S

= |saP |)

, а, |3=

1,

k ,

sap

= Spa ,

положительно

определена.

Вообще,

если вектор,

обозначаемый малой латинской буквой,

принадлежит

nh{h+l)t'2,

то

симметричная

матрица

ky^k,

составленная

аналогично,

бу­

дет обозначаться соответствующей прописной буквой

и

на­

оборот.

Пусть

t £ Т = RkX

Е

и

/ (х; t) — плотность

^-мерного

нормального распределения

/

(х; t)

= / (х; r,s)

= п(х |г, S)

=

-------------------------1

exp

,/

_

i

(x —

r)' S_1(x — r)

(6.3.1)

(2 тс)*/2 1S

I1/2

l

Пусть, далее, 8 =

(a, с)

£ T,

вектор

X

имеет

плотность

n(x |a, С)

и

X a, a

=

1, n ,

есть

выборка

из

совокупности