Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Прежде чем перейти к применению формул1

(5.2.2) и

(5.2.3)

к

п (х |а, С),

сведем

задачу к случаю, когда

а—а0 = О

и С =

С0

=

},

Существует

матрица

С1/2

такая,

что

С1/2 (С1!2))'

= О.

Обозначим

(С1/2)-1 = С '1/2.

Очевидно, (С-1/2)'

С-1/2

= С-1.'

По­

этому из (6.3.1) имеем

п (х |а, С)

=

п (С~г>2 (х — а) I 0, / ) .

(6.3.3)

ICI1'2

Вектор

Y = С"1!2 (х — а)

распределен нормально с

параметра­

ми

0

и

С-1/2 С ( С 1/2)' =

/ .

Рассмотрим

выборку

Уа =

=

С~112(Ха ~ а )

из

У. Символы

а0, С0,

и

с0 будут

соот­

ветствовать

символам

tz r С

я

с

при

а0 — а0 = 0

и :

С —

=

С0 =

I.

Так как Ха =

Сг12 Ya +

а,, а = Г, п ,. то)

=

С1/2 _ _ 1 _

V

(Уа -

a,) (Ya - а0)' (G1/2)1'—

п — 1

=

С1/2 С0 (С1/2)' .

Отсюда,

поскольку

[ С1/2 ]2 =

|;С)',.

имеем

п (х |а ,

С ) =

(2rc)ft/2 1С |1;/в |,С0 1!1/2' Х

X ехр

(

1

а -

СЧ2 аь) (б1-1/2)) G ^ ’C ^ 2 ( f - а —

- — (х -

>

\ С

[

(2

т:),</2 к ' Т Щ :

X

exp j

-

y

(C - ^

(x

-

a ) - a 0y C~l

(x - a) -

a0)

1

n (С '1/2 (x — a) | a0,

Ce) =

V W :

1

=

t j ^t

n (c_1/2 (* ~ ^

1

l)

Стало быть

E n (x |a, C) —

K i c j

E n (C '1/2 (x — a)|0, /)

(6.3.4)

D n (x |a,

C) =

l

D a (C1/* (*

- a) |0, /) .

(6.3.5)

I С.-l

Как

известно

[1]., векторы

<а0

и

с0

независимы,

причем

Од

имеет

плотность

п {и j 0, _L /

,

и £

а (я — 1) 'сд =■ h

распределен

с

плотностью

Уишарта

да ( о| /г, и —

1,

/ ) ,

v £Rk(-k+1'>i2,

которая

при

о 6 X!

равна нулю. При

v £ £

.да (0|fe.n -

1. /) -

1V

expj —1/2sp

k\

*

2 ft( « - i ) / 2 r

/ я _____ Ч . . , p l n

Для моментов

a0 имеем

E a f0 =

E a%

=

1

n

E arQas0 =

О;,

г Ф s ,

(6.3.6)

E йгд

as0 at0 — 0 ,

Ea«o =

n3

,

r , s , t ~

l , k .

Выпишем теперь значения моментов первого и второго

порядка вектора

h [10]:

Е (А„ -

Е hrrf = 2 (п— 1) ,.

Е (А„ -

Е ft„) (/у -

Е H J = 0,. г ф

si, .

Е Ks =

0, г < s

Е h2rs =

п — 1 ,

Е (А,, -

Е hrr) Щи,=

О,.t < u ,.

b h rshtu = О, (г,, s)'ф (/,.«),. г , .

= 1,А .

E(?rr0 -

crrQf

=

- 1

—

=

—

+

О ( - L )

,.

п. — 1.

п

\ ГГ

I

(6.3.8),

Е К «о - с«о)2=

---- 1 - г

=

—

+

O ( - L

)

•

п — 1

п

V п

1

Отметим, что ввиду независимости и несмещенности а0

и с0

Е O-lo (t-sto

^ о )

=

®>- ^

^ >•

Еа'го Я ,

К ,о

-

^ о )

=

0

-

I (6.3.9)

Е й/о ( ^Sto

^Sto ) ( ^uvО ^udo)

=

6,■и <С[

У,/, S, t, и,.и =

1, k .

п—1

Z'a Z‘a ,.

Za —

дает по распределению

с

матрицей £

где

01=1

= ( Zla,... , ZAa) , a =

1,,/г —

1, — независимые векторы,

компо­

ненты которых независимы

и

нормальны

(0, 1).

Из последнего

X2 с п — 1

степенями свободы.

Поэтому

[10],

Е (ft„

-

Е hrrf =

8 (п -

1) ,. г =

М г ,

(6.3.10)

Е (hrr -

Е / у 6' =

0 (/г3) „

г = М > ..

(6.3.11.)

Далее, при

г <

s

п— 1

E (*,«

-

E /iJ 3

=

Е (

^

г

,

)

'

(6.3.12).

и

а=1

п— 1

Е (Л,

-

Е hrsf

= Е (

V

z „

z „

y .

' £^1

=

(л -

1

) Е Z% Z6S1 +

. 1 1 .

(л -

1) (л -

2) Е Z2rl l\x Z\ Z*n +

2!

4!

+

6 !

(л -

1)(л -

2 ) ( я - 3)

р

7 2

7 2

72

72

72 7 2

(2!)3

3!

L £ -> Г 1 ^ s l ^ Г 2 ^ S 2

^ S3 —

= О (л3).,

г, s = l,k .

(6.3.13)

Подсчитаем

смешанные

центральные

моменты h третьего

порядка

Е (hgg -

Е hgg) (hn -

Е hu) hrs =

п— 1

=

Е (

^

(Z|a -

l)(Z?p -

1) Zry Z sY

|== 0, (6.3.14)

a,

jl, 7 = 1

S =

l, k.

gg

g g '

ъ

=

^Kg

- ( л

-

l ) 2

п— 1

Л—1

(n — l)2,

если

g +

r

и g=)=s,

= E (

V

Z*a Z*p Z|p )

=

л2 — 1 ,

если

g =

г, или g = s.

P = 1

Отсюда,

при

г < s; g, r,

s =

1, k

£ ( / , „ - £ /.„ > 4 , = ! ° '

g Ф г и 8 Ф = , ( U J 5 )

( 2 (л— 1),

если g

= г или g =

s.