Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Е (hgg

Е hgg) hrshuv = Е f

2|a Zr$ Zsp

Zuy Zvy j =

a, pT ftl

= 0,

r,

s, и,

v =

l,

k.

(6.3.16)

Из формул

(6.3.20), (6.3.12),

(6.3.14), (6.3.16)

заключаем,

-что моменты

третьего

порядка

вектора с0 =

— i—- h большей

я — 1

частью равны

нулю, а неравные нулю являются

О

1

Как

п‘

это следует из (6.3.11)

и

(6.3.13),

моменты

шестого порядка

вектора с0, так же как

и вектора

а0 (см. (6 .3 .6 )),

удовлетво-

ряют условию

2,

являясь

О

/ 1

\

----) .

Приступим к проворке условия 4. Выше мы ввели

вектор

h = ( я — 1) с0,

который

имеет

плотность

w(v\k, п — 1,

/) .

Соответственно,

Я = (я —

1)С0,

т. е.

С0 =

1

в

тер­

Я и

минах Я

я — 1

я (х |0,

/)

= я х J а0,

Я

я — 1

' Следовательно,

я2 (х |'0,

/) d P

Лс„

= \ я2 1х | я, —

- j j

п ( и 1° , —

/ )

n— l,I)dudv.

( “•Ф т )

Со) <?о

=

I V Г

ехр { - (п -

1) (х - и)' V-Чх - и ) } X

(2 Щ

,| V | М / 2-1 ехр | ------1_ sp V

X

1j . . , р

2 к ( п - 1)/2 л й(й-1)/4 р |Я~

(я -

1)* Г

. . . r /n~

2 ~ k

X

(2 *)'

х ехр { — (я —

1) (* - и )'

У -1 (х -

и)} X

I

V

/2-1 ехр

j ----L sp v

X 2к(п-з)/г

р j я__ 3^

2

р /п 2 k

(Я - 1)"

-ехр} —(я— 1) (х — и)' V~\x—и) } X

Отсюда ясно,

что

существует

константа Мк,

зависящая от k,

такая, что

при

всех u £ R h и

v £

я2 ^х |я,

j w(v\k,

п — 1 , 1)^.M hw(v |k, n — 3, / ) ,

я

& -j- 2 .

Обозначим теперь

sx положительное

число такое, что

{ I и |> ех} X

v

СпI > ®i > —3

я — 1

{

| ("• ^ г т ) -

<°' *•> |>

4

13. Г. М. Мания

193

Тогда

n2 (* | 0 r / ) d P < Mh | n ( и J0, _L /

] w(v |k, n — 3, I) du dv

MI > £i } X

\

n — 1

>

si

= Mh j*

n |ы 10,.

- L

/ j

du j* w (v |k, n — 3,

I) dv

I “ I

>

*i

га

— 1

-

^0 j

>

*i

I

= MhP { |a0 1>

j P

h°

— Cn

> 4 ,

n — 1

где h° имеет плотность

w(v\k, n — 3,

/).

Согласно

неравен­

ству Чебышева

k

Р { К 1 >

*

И <

~ -

Е | Я | 2 =

^

E f l i o = 0 ( 1

а=1

Аналогично,

имея в виду (6.3.7),.

!

К

< 6

i J

=

р { 1'Л° — (л— Г) О01>

(я — 1) в1} <

П— 1

k

k

< (п

Е j

^

([« „ -

<» - 3)] -

2)4-

V « ,) * ) =

1=1

а., 8Р=1.

1

(„ - 1 > ч п * [2(" -

3 ,+ 4 |

+

^

,М

-

° В

-

Окончательно

Существование и непрерывность в окрестности (0, с0) про­

изводных

п(х \г, S)

по

параметру несомненны.

Для

наших

целей необходимо сосчитать лишь некоторые

из них.

Это выз­

вано тем,

что

излишне считать производные третьего

порядка,

и,

согласно

(6.3.6),

(6.3.8)

и (6.3.9),

из

производных

первого

и

второго

порядка

достаточно

вычислить

_

дп

д 2п

дп

д 2п

’

а ^р.

дга ’

d rl ’

dsa& ’

а ,

1, k,

Характеристическая функция,

соответствующая плотности

п ( х

| г,

S), равна exp | i ( r ,

и)—~

w'Snj и

по

формуле обра­

щения

п ( х

i г, S ) = - ^

J

e-; («.*;exp

|t(r, и)—~

m'S wJ

du.

(6.3.17)

Правую

часть

(6.3.17)

можно

дифференцировать

под ин­

тегралом по г и s.

Поэтому

Гехр

— )

=

—

-

{ — i ( u , x ) -----— и'и]

iu a du

(6.3.18)

дга) (О, Са)

(2*)kJ

I

2

|

i— Гexp

(—i ( u , x ) --—u'u I i2

du\

(6.3.19)

dn

*

j*

exp

{ —i(u,

*)—-i-u 'u ]

-i- i2 u2a du

dSaa/(0,

Co)

( 2 7l)

(6.3.20)

r r )

= 7 7 T T k

f exP

1

\ -i(u ,x )— -Д u'u\~ui du

\dsaa/(0,

c0)

(2 ie r J

Y

(6.3.21)

dn

h J exp

|— i ( u , x ) — « '« j

i2uaubdu

(6.3.22)

^sap/ (0,

cft)

(2 я)

dsa§J ( 0 ,

^—

Г exp

{ — i(u,x)----— u'u)

u%u\du

(6.3.23)

Co)

(2 TC) 0

i

2

I

Итак,

задача свелась

к нахождению обратных преобразов а-

ний Фурье для функций

Риащ e~u/z)u'“, « а up

“

а, ф = Т Л

а

С этой целью рассмотрим производные ег^

Поскольку

б-(1/2)и'н=

j* gi(u.x) n(x\0,I) dx

(6.3.24)

диа

J

т. е.

ша е-<г'2>“'“ = |

ё (и,х)ха п(х |0 ,/)

dx, a= T7k.

(6.3.25)

Далее, беря производные

обеих частей

(6.3.25) по

щ, а < ф ,

имеем

Р иаМр е_(1/2)

= Г

ха хр n(х |0, 7)dx

(6.3.26)

i(e -v m "'* + p u *

e~W2)u'u) =

fx2n(x |0,7) dx,

откуда, согласно (6.3.24),

)

P « 2 e-(i'2)u'«=

Гe^“'^(x2 — 1) n(x |0,/) dx.

(6.3.27)

Продифференцируем (6.3.27) по Up два раза. Получим

Pul up

J «*<«•*>(*» -1 ) xpn(x |0, 7)dx,

t2«2e_(1/2)“'“-t-i2«а «I e ~ ^ u’u=

(x2, — l)x£n(x |0,7) dx.