Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

а, р=1,& ,

а < (3 .

(6.3.28)

Осталось дифференцировать (6.3.27) по иадва раза. Имеем

i (2 uae~(1M u'u-{-i2Uq е~(-112’>и'и)=

Г

(x* — 1) xau(x \0,1) dx

i* ui e-W2>“'u

(6.4.29)

=

хап(х |0, /),

а = \ ,Т ;

(6.3.30)

Vdr«/(0 .

с0)

=

( xl —1) п(х\0,1), x = l,k ,

(6.3.31)

Со)

=

-£-(*« —1 )п(х \0, /),

a=l,k ;

(6.3.32)

со)

2

1д2п

(х„ —6 4

-|-3) п(х |0,1), a—l,k;

(6.3.33)

(0.

<ч>)

/ дп

= x a xpn(x|0, 1), а < р ,

а ,р = 1 ,й ;

(6.3.34)

/

\

___

—

= ( * « “ 1 )(4 — 1)л(л:10, /), a < p , a.$ = \,k. (6.3.35)

\д* У ( 0 ,

c0)

Е п (х [0,

1

k

—

1

1)= п(х |0, / ) +

^

!)л (х i 0, /) — -|-

а=1

+

V

,

—

( 4 - б 4 +

з ) « ( х |о ,/)

—

(-

1

лmd 4

/2

a=l

+

k

Т

+0 Ш =

V

(**-l)(*|-l)n(0| 0,/) JL

n J

кп

к

к

= п(хЮ, /)

^ ( x l - l ) + ~ ^ ( х * - 6 x i 4-3) 4-

',)|1+ 2^

a=l

a=l

4

- ^

+ 0

4

a,jj=l

. п

а<Р

Подсчитаем суммы отдельно

k

(6.3.36)

к

М-1К4-1)-73; W-IK4-')-

2

о,р=1

а.Р=1

а<Р

“¥=Р

1

А

“ о

k

,

. * ( * - 1 )

4

а,р=1

Я=1

#с

к,

i - ^

(4 - 6 4 + 3 ) + ^

( 4 - 1) ( 4 - D =

a,p=l

a<P

«•

«

2

4

x\-\& +

2 (k -

1)1 ^

x*a + k (k -l) + 3k

a= 1

=

—

\{x'xf—2 (k-{-2)x'x+k(k-\-2)\.

(6.3.37)

2

Суммируя (6.3.36) и (6.3.37), получим

Е п(х |0, I) = n(x |0 ,/)

(

1 - f —

[(x'x)2 —2(&-j-l )x'x+k2\I_l_

1

4 n

1

1

+ 0

(6.3.38)

Перейдем к дисперсии.

Согласно (5.2.3),

k

п*{х [

I)------L

D n (x

I 0, / ) =

V

1 4

О,

a =

1

n

k

k

- f 2

^

( 4 - i ) 2 « 2(*

10 -7) ^

- + ^

]

4

- ^ W . / )

^ - +

a=l

aa==l1

k

+ °

a ) - i - ^ . ° . n | S 4 + s i . ( 4 - i , +

a= 1

a=l

+ 2

4 4

+ 0 [ ± ) . t

a,p=l

— х'х,

(6.3.39)

==_L[(x,x)2- 2 x/x+ ^ ].

(6.3.40)

2

Сложим (6.3.39) и (6.3.40). Получим

D п(х |0, /) = —

п2 (х |0, /) (x'x)2-\-k\ -j- О f — V

(6.3.41)

2 л

Vn2 /

Результаты

для

нестандартного

распределения,

получае­

мые из (6.3.38)

и (6.3.41) с помощью

(6.3.3), (6.3.4)

и (6.3.5),

сформулируем в виде

теоремы

Т е о р е м а

6.6.

Е п(х |а, С) = п(х |а, С) { 1 + —

[((x—а)' С~\х—I))2—

I

4 п

-2 {k + \ ) (х -а )' С-1 (х— а)+&2] j

( 1

+ О (.