Файл: Кондратьев, С. Л. Применение метода функционального моделирования для оценки помехоустойчивости систем связи.pdf

при каждом данном значении отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума

лишь в том случае, если порог аПор в решающем устройстве выбрай оптимальным. При изменении коэффициента передачи канала р. уровень приходящего сигнала a = iiAs изменяется, поэтому требуется устройство, которое бы производило измере­ ние (оценку) его с целью регулирования данного порога.

Для решения этой задачи необходимо обработать напряже­ ние на входе u(t):

где т — вектор неизвестных параметров, т. е. амплитуды, фазы, частоты.

Упростим задачу, полагая, что частота и фаза нам известны или безразличны, т. е. будем интересоваться только амплитудой. Очевидно, что можно предложить несколько методов gi решения задачи, но нам требуется такое gu чтобы оценка амплитуды а была оптимальной, т. е. обеспечивалось р0 ш=Ропт-

Пример 2. В соответствии с теорией Котельникова В. А. потенциальная помехоустойчивость при гауссовом шуме дости­ гается использованием фазовой модуляции ФМ, если в качестве схемы обработки сигнала с шумом применяются согласованные фильтры или подобные им схемы корреляционной обработки.

Полученное выражение

как, впрочем, и при любых других методах модуляции и опти­ мальной обработки, справедливо в предположении, что начало и конец импульса сигнала нам точно известны. Это означает, что передатчик и приемник согласованы во времени идеальной систе­ мой синхронизации, которая выдает абсолютно точное значение момента прихода сигнала tB и времени произведения отсчета его

t0=iH+kT.

Необходимо найти, как и в примере 1, какой алгоритм обра­ ботки следует применять и какую потенциальную точность оценки можно ожидать. Аналогично можно сформулировать за­ дачу определения оценки частоты, фазы и т. д. В первом и во втором примере можно было бы решить задачу минимизации , Рош и именно ее использовать в качестве критерия выбора алго­ ритма обработки. Однако решение таких задач найдено лишь для отдельных частных случаев и само по себе является предме­ том моделирования. Поэтому в общем случае приходится руко­ водствоваться более частными критериями качества оценки, ис-

50

пользуя, например, минимальные свойства совокупности о т к . ^ нений Дг при выбранном алгоритме обработки сигнала gi.

Обратим внимание на то, что если выбранный нами критерий качества оценки не учитывает истинного характера процесса, то полученная «оптимальная» процедура оценки gi на самом деле может оказаться хуже «.неоптимальной».

Вернемся теперь к сформулированной задаче и будем искать решение системы (2.2.4) в статистическом смысле. Конечно, и в этом случае необходимо использовать какую-то дополнитель­ ную информацию. Обычно имеется определенное основание предполагать знание закона распределения ошибок W(Ai). Оче­ видно, кроме того, что нужно минимизировать какую-то функ­ цию ошибок G(Ai, Дг, • • •, ДлО-

Если в качестве оценки взять медианное значение (***):

Полагая, что можно воспользоваться оценкой (**):

2. Несмещенная оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией, т; е. если:

1) М (-г*)=7*=т;

62

Заметим, что если определена условная плотность распре­ деления W (.и/ч), то в общем случае эффективность оценки опре­ деляется неравенством Крамера—Рао, т. е. оценка эффективна в общем смысле, если неравенство Крамера—Рао при выбран­ ной оценке т* обращается в равенство:

Если смещение Ь не зависит от у или равно нулю, то полу­ чаем

Этим устанавливается минимально достижимое значение диспер­ сии оценки (т. е. нижняя граница).

Можно показать, что дисперсия минимальна и равна правой части неравенства Крамера — Рао тогда и только тогда, когда функция правдоподобия параметров удовлетворяет следующему условию:

равная постоянной величине. Таким образом, эффективная оценка реализуется в случае, когда справедливо выражение (2.2.19), при этом неравенство Крамера — Рао определяет по­ тенциальную точность оценки.

Если оценка не обладает свойством эффективности, то она называется неэффективной и для характеристики ее качества (близости) .вводится мера эффективности:

Несмещенность и эффективность оценки являются тем более хорошими ее качествами, чем на более коротком интервале на­ блюдения Тя (при меньшем числе .отсчетов) она обладает ука­ занными качествами. Например, вероятность ошибок опреде­

53