Файл: Кондратьев, С. Л. Применение метода функционального моделирования для оценки помехоустойчивости систем связи.pdf

где па — число неправильных, a N — общее число переданных символов. Так как число испытаний всегда конечно, то имеем дело только с оценкой вероятности ошибок. Если канал неста­ ционарен, то «а участке квазистационарности Ткв (закон распре­ деления на ГК в считаем неизменным) получаем лишь грубое при­ ближение, которое, возможно, и не сходится к истинному значе­ нию рош- Если оценки обладают свойствами несмещенности или эффективности при N ~ со , то говорят об их асимптотических свойствах. Отсюда название асимптотически несмещенные или асимптотически эффективные оценки. Введенные выше опреде­

называется состоятельной. Отсюда вероятность того, что дис­ персия оценки при N ->- со может стать меньше сколь угодно малого числа е, стремится к единице. Или, что проще, но не совсем строго, оценка будет состоятельной, если с увеличе­ нием числа испытаний N-»oo ее дисперсия Ь(т*)-»-0.

ц 4. Наконец, оценка называется достаточной, если

т. е. если условная плотность распределения наблюдаемого процесса как функция от выбранной оценки 7* не зависит от значения оцениваемого параметра 7. А это означает, что оценка 7* использует всю информацию, содержащуюся в на­ блюдаемом процессе о параметре 7.

5. Если не удается получить во всех экспериментах или во всех условиях необходимые качества оценок, то по обычным правилам вводится доверительная вероятность Р и соответст­ вующий интервал /, в пределах которого обязана находиться оценка с заданной вероятностью.

Однако получить такие оценки, т. е. найти такую процедуру обработки gu при которой все указанные свойства оценок со­ блюдались бы даже в асимптотике, часто не удается. Поэтому •наиболее употребительными являются несмещенность и эффек­ тивность оценки, которыми и будем пользоваться.

В заключение данного параграфа остается (без доказатель­ ства) рассмотреть затронутый вопрос: как использовать изло­ женную теорию, если хотим выбрать наиболее оптимальный алгоритм получения оценки? Кратко эта последовательность такова:

Пусть нам известен закон распределения ошибок измере­ ния, т. е. известны Wn (Дг) при измерении параметров 7,. В данных условиях совместная плотность является, следо­ вательно, условной, но загружать изложение дополнитель-

54

ными обозначениями не будем, Если ошибки измерения каж* дого параметра являются нормальными, т. е.

Эта условная плотность ошибок измерения называется функцией правдоподобия, а тот набор оценок -у,*, т2 *, •••> ко­ торый ее максимизирует, является наилучшим. Действительно, пусть выбран такой алгоритм g,, который обеспечивает мак­ симум функции правдоподобия. Но это означает, что достигает минимума показатель экспоненты, т. е.

суммы квадратов ошибок. Оценки, полученные в результате минимизации взвешенной суммы квадратов ошибок, называются оценками метода наименьших квадратов.

Таким образом, если правильно выбран нормальный закон распределения ошибок и использован метод максимального правдоподобия, то полученные оценки являются наилучшими, т. е. обладают свойством эффективности, по крайней мере, в асимп­ тотическом смысле. Если теперь учесть,- что есть веские основа­ ния в стационарных условиях наблюдений полагать закон рас­ пределений ошибок нормальным, и то обстоятельство, что функ­ ция правдоподобия, как функция неизвестных параметров, имеет степенью простейшую функцию суммы квадратов ошибок,.то становится понятным, почему метод наименьших квадратов (МНК) получил наибольшее распространение.

Необходимо лишь предостеречь от неверного его применения. Если модель нормальных ошибок неверна, а это в нестационар-

55

ных условиях частое явление, то полученный алгоритм не будет уже оптимальным. Например, если дисперсия измерений изме­ няется, то ошибки измерений могут подчиняться закону Лапласа:

При равноточных измерениях функция правдоподобия имеет вид:

Метод, основанный на (2.2.29), называется методом наимень­ ших отклонений, а получающиеся при этом оценки — оценками метода наименьших отклонений (наименьших модулей).

В таблице 2.2.1 приведены для примера эффективности е ме­ тодов МНК и MHO для трех законов распределения ошибок [15].

Как видим из этой таблицы, МНК при законе Коши вообще имеет нулевую эффективность, а .оценки являются несостоя­ тельными, в то время как MHO обладает еще хорошей эффек­ тивностью. При законах распределения, близких к закону Гаус­ са, эффективность метода МНК близка или равна единице.

Следовательно, если ограничиваться нормальным законом, что можно ожидать при гауссовом шуме и линейных методах обработки, то необходимо пользоваться МНК, как это выполнено

в§2.3.

§2.3. Оценка параметров сигналов

Используя результаты предыдущего параграфа, можем те­ перь рассмотреть более конкретно вопросы оценки параметров сигналов. Такими интересующими нас параметрами сигнала яв­ ляются амплитуда А, длительность 7, частота фаза ф, время прихода и другие.

56

В силу того, что амплитуда -и длительность определяют энер­ гию сигнала, такие параметры называются энергетическими. Фаза, частота и время прихода не входят в выражение энергии сигнала, поэтому.являются неэнергетическйми. В некоторых слу­ чаях нас может интересовать весь сигнал на интервале наблюде­ ния Тн и необходимо решить, какую обработку сигнала с шумом следует использовать, чтобы получить оценку, обладающую, На­ пример, минимальной среднеквадратичной погрешностью. Такая задача была независимо решена А. Н. Колмогоровым И Н. Ви­ нером; фильтр, ее выполняющий, получил название фильтра Винера — Колмогорова.

Очевидно, что во всех случаях наиболее сложно решать задачи оценки параметров, если нам неизвестно, хотя бы предположительно, в какой области значений может лежать

жений о наиболее, вероятном интервале их распределения, то приходится считать, что параметр распределен в этой области равномерно (Wp(y)). В ряде случаев у нас имеется некоторая информация об априорном распределении и можно выделить наиболее вероятную область, в которой следует ожидать появле­ ния данных измерений. Тогда плотность вероятности W(y) Ф

фconst..

Параметр у может быть по природе случайной или детерми­

нированной величиной. Если параметр у имеет только единствен­ ное значение (гг. е. не является случайным) и неизвестна лишь его истинная величина, то задача сводится к оценке значения такого параметра. В общем виде может оказаться необходимым производить оценку среднего значения, дисперсии, функции .кор­ реляции или функций распределения случайной величины.

Рассмотрим задачу оценки параметров, имеющих лишь одно

от свойств прибора и условий, в которых производится изме­

того., дает ли прибор систематическую погрешность и на­

Поскольку линейная обработка сигнала с шумом ведется на конечном интервале Т„, отношение сигнала к шуму даже при идеальной обработке g будет конечной величиной, а сама у, случайной.

57

Законы распределения ошибок и распределения оценок при этом совпадают. Минимизация дисперсии оценки равно­ сильна минимизации дисперсии ошибки.

Так как истинное значение у .неизвестно, то для его получе­ ния , возможно, например, воспользоваться нахождением сред­ него значения по совокупности у, (на интервале 7"„):

M M = M £ [ « ( * , T ) 1 = " T 7

Покажем, что это сделано правильно.

Действительно, по условиям задачи известно, что параметр у не случайный и что помехой является нормальный шум, а обра­ ботка производилась линейным устройством. Тогда :на выходе получим нормальное распределение погрешностей, а при этих условиях, как показано выше, процедура усреднения влечет за собой минимум среднеквадратичной ошибки при данном g. Под­ твердим это математическим выводом. Наши наблюдения, т. е.

Чтобы добиться минимума этого выражения, необходимо сде­ лать максимальным второе слагаемое, так как первое от вели­ чины а не зависит.

Дополним квадратичную форму (второе слагаемое) до пол­

доподобия или его однозначного преобразования, не изменяю­

58