Файл: Кондратьев, С. Л. Применение метода функционального моделирования для оценки помехоустойчивости систем связи.pdf

В предыдущем параграфе для случая N измерений было по­ казано, что метод максимума функции правдоподобия при нор­ мальном законе ошибок обеспечивает минимальную среднеквад­ ратичную погрешность оценки и является оптимальным. Этим доказывается наше утверждение.

Можно показать, что если параметр у является случайной величиной, с известной совместной нормальной плотностью ве­ роятности W(u, у), то оценка максимального правдоподобия также совпадает со средним значением (теперь уже условным).

Какую же непрерывную обработоку u(t, у) в общем случае следует производить, чтобы получить максимально правдоподоб­ ную оценку различных параметров? Прежде всего заметим, что все предыдущие результаты были основаны на предположении нормальности закона распределения ошибок, а при нормальном шуме на входе линейной системы оценивания это было очевид­ ным. К сожалению, многие параметры, которые нас интересуют в теории связи, получаются путем нелинейной обработки сиг­ нала. Напомним, что для получения амплитуды сигнала необ­ ходимо использовать идеальный амплитудный детектор, выпол­ няющий операцию

нормальным, если даже на вход вместе с регулярным сигна­

59

няем нулю, а затем найдем вторую производную. Если вторая производная положительная, то действительно, такая оценка обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки. Читателю рекомендуется проделать это самому.

2.Вторая процедура основана на максимизации обратной (апостериорной) вероятности W(i,ju), т . е . на выборе такой оценки т*, которая доставляет максимум апостериорной ве­ роятности, или, что то же, In WYj/и).

3.Третья процедура основана на максимизации функции правдоподобия И^(и/т)=/(ч), т. е. на выборе такой оценки -f*, которая обеспечивает выполнение равенства:

либо, так как логарифмирование не смещает максимум, вместо этого равенства можно записать:

не являются наилучшими, так .как не всегда обеспечивают несме­ щенность и эффективность оценки, а следовательно, и минимум среднеквадратичной погрешности. Это обусловлено тем, что помеха необязательно, является гауссовой и априорная вероят­ ность параметров W(y) необязательно равномерна. Однако в том частном случае, когда .процессы нормальны и априорную вероят­ ность можно полагать равномерной, оценки по этим критериям будут несмещенными и по крайней мере асимптотически эффек­ тивными. Так как на практике нас интересует получение мини­ мальных погрешностей, а это достигается большим отношением сигнала к шуму, то можно воспользоваться тем, что в данных условиях обе процедуры приводят к наилучшим несмещенным оценкам, совпадающим с оценками, полученными по критерию минимума среднеквадратической ошибки. Последнее обусловлено

60

тем обстоятельством, что в асимптотике (т. е. при очень боль­ шом отношении сигнал/шум) распределенияамплитуды, фазы и частоты близки к .нормальным. В частности, обобщенный закон Рэлея становится практически нормальным.

Покажем связь между оценками по максимуму апостериор­ ной плотности и максимуму функции правдоподобия. Восполь­ зуемся для этого формулой Байеса. Функция плотности обратной (апостериорной) вероятности равна

функцией правдоподобия. Более того, если даже истинное рас­ пределение W(y) неравномерное, но изменяется медленно, то с хорошим приближением можно не считаться с неравномер­ ностью при условии, что дисперсия параметра и при данном у невелика (т. е. функция правдоподобия очень узка). Однако уже она будет тогда, когда отношение сигнала к шуму оченьвелико. В пределе, когда ^ ° с > ^ э „ , можем делать предположение,

61

что априорное распределение равномерное, так как функция правдоподобия «вырезает» лишь ее узкий участок.

Таким образом, если хотим получить хорошую оценку, а сле­ довательно малую ошибку, то при неизвестном априорном рас­ пределении вполне справедливо предполагать его равномерным (за это расплачиваемся большим с^У^п)-

Покажем теперь, что если функции правдоподобия являются нормальными, то можно воспользоваться всеми 'выводами ([I], гл. 6), т. е. для получения хорошей оценки необходимо использо­ вать те же алгоритмы обработки сигнала с помехой, что и для достижения минимальной вероятности ошибки.

Такими методами являлись обработка сигнала с Шумом согласованными .фильтрами или схемами корреляционной (ин­ тегральной) обработки. Действительно, аналогом выражения функции правдоподобия

Wn (Д„ Д2, .. . , d ^ - J ^ J Y ^ 2 4 ' 2 , (2.3.11)

если за /V считать число отсчетов по Котельникову. N=2FTn, будет функция правдоподобия, рассматриваемая как некоторая функция параметра т (при условии, что сигнал является по­ стоянным, а шум «белым» гауссовским):

62