Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

81

см. также упр. 8).

§ 5.

Общая

теорема Пэли — Зигмунда

Вернемся

к ряду

(1)

оо

2 х „ с о з Н + Ф„),

(1)

п=0

Предположим, что Хпе1Фп—независимые

симметрические

странстве

0,ХФ, и

введем

последовательность

Раде­

махера

е0 ,

в[,

е„

заданную

на

другом

вероят­

ностном

пространстве

Qs.

Теперь

мы

можем

рассма-

тривать Хпе

" и е„ как независимые случаиые

величины,

заданные на произведении пространств

Qx® X

= &ХФ •

так

как

можно

положить

Хп ((В, СО') =

Хп

(Ш), Ф„ (СО, СО') =

Ф„ (СО),

8„ (СО, СОО =

Е„ (й/),

и ряд (1) перейдет

в подобный

ряд,

заданный

на

вероят­

ностном

пространств

Qxo .

оо

Ряд (1) можно

записать

в виде

2

Re (Х„е'Ф п е'п '). Так

как

мы предположили, что

Хпе

"—независимые

симме­

трические случайные

величины,

то

последовательность

Xnel<s>n

подобна

последовательности

Xnenel<s>n,

и поэтому

ряд

(1)

подобен

ряду

оо

2 Хпеп

cos (nt +

фп).

(8)

Как

выяснится,

ряд

(8)

исследовать

намного

легче,

чем

ряд

(1).

Теперь

докажем

теорему Пэли — Зигмунда,

которая

содержит

в

качестве

частных

случаев

предложе­

ния

6, 7, 9 и

1Q.

Т е о р е м а

1. Предположим

сначала,

что

sup

( < r U „ ) < r - 2

U „ ) ) < o o .

(9)

П

Тогда,

если

СО

< °°> то ряд

(1)

п. н.

сходится

^&(Хп)

почти

всюду

ко функции

F(t),

такой,

что ехр (Я/72) е= L 1

со

при всех

Я > 0. Если

же 2#> (^л) =

0 0 > то ряд (1) п. н.

расходится

почти

всюду

о

не

является

рядом

и п. н.

Фурье

— Стильтьеса.

В

общем

случае

если

(9) не пред­

полагается,

то обозначим

через Х'п

проекцию

Хп

на

сег­

мент [ — 1, 1]. Тогда

те оке самые

утверждения

справед-

оо

оо

ливы,

если

ряд 2о<^(-Хл) заменить

рядомо

^j&{Xn).

со

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

2 < ^СХп)<°° ,

то

оо

о

<

оо

п. и. (Qxa>) (теорема

6

гл. III) . Следова­

2 Хп

л о

на основании

предложений

9 и

10 ряд (1) схо­

тельно,

дится почти всюду и представляет функцию F, такую,

что ехр (KF2) е= L 1

п. н. (0.ХФг)

при всех

Я > 0.

со

С другой стороны, если имеет место (9) и

2i&(Xn)=°°,

оо

оо

и

либо

2£, иЯ =

°°.

то

2*п =

°°

п. н. (О*©) (тео-

0

л=0

ремы

5

и 6 гл. I I I ) . Заключение

теоремы

следует

из

предложений

6 и 7.

Забывая

о точных

условиях,

которые

обеспечивает

теорема

1, мы видим, что она имеет следующий

смысл:

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ

ФУРЬЕ

83

П р е д л о ж е н и е

11. Пусть

I l t /2,

...—последова­

тельность случайных

открытых

интервалов

на

окруж­

ности,

центры которых

являются

независимыми

случай­

ными

величинами,

равномерно

распределенными

на

окружности.

Тогда

множество

lim /„

(т. е.

множество

П-*оо

бесконечно

мно­

точек, каждая из которых принадлежит

гим /„) п. н. всюду

плотно

на

окружности

и,

более

того,

второй

категории

на всяком

интервале.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В качестве первого шага

дока-

со

жем,

что множество

( J / „ п - н -

плотно

на окружности.

i

интервал

/

длины

а, то Р ( / „ П / Ф

0)>а/2л

и, следо-

оо

вательно

(по

лемме

Бореля — Кантелли), ( J / n

( l /

Ф

0

со

п. н. Поэтому

дополнительное

множество

C ( J / „

п -

н -

является

замкнутым

нигде не плотным

на

i

окружности

со

множеством. Аналогично,

множество Fv

=

C\Jln

п. н.

замкнуто и

V

объе-

нигде не плотно. Отсюда следует, что

оо

динение

(J.FV

п - н -

является множеством первой

кате-

1

гории, а дополнительное множество

lim /„ обладает тре-

буемым

свойством.

П->оо

П р е д л о ж е н и е

12.

Пусть щ,

..., uk,

...

—

такая

последовательность

непрерывных

на

окружности

функ­

ций, что lim || uk \\ж

>

0. Далее,

пусть

Ч^,

. . . —

последовательность

независимых

случайных

величин,

равномерно

распределенных

на

окружности.

Тогда

п.

н.

существует

такое

t,

что lim I uk

(t — Ч^) | >

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

считать,

что

|| uk

>

> г] > 0 при всех k, так как иначе

мы рассматривали

бы

84

ГЛАВА V

подпоследовательность

последовательности

{ип}.

Тогда

| uk(t—I

> т) на случайном интервале

1к,

центр

кото­

рого является случайной величиной, равномерно

распре­

деленной на окружности. Требуемое заключение

следует

из предложения

11.

П р е д л о ж е н и е

13.

Пусть

Vb

!/„,,

..

.—после­

довательность

независимых

симметрических

случайных

векторов в С (банаховом

пространстве всех

непрерывных

на окружности

функций).

Предположим,

что Vn

и

любой

со

сдвиг

Vn

подобны

(п =

1,

2,

. . . ) ,

а

ряд

2

Vn

п-

н-

огра-

ничен

в

С. Тогда

этот ряд

п. н.

1

в

С.

сходится

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

заключение

теоремы не­

верно,

то

найдется

г| >

0

и

две

последовательности

целых чисел пгр пг2,

т\,

т'2,

такие, что /и, <

т\ <

< т2

<

т'2

< . . . ,

причем

Р / |

2

/Л

>

ц\>ц

(k =

l,

2, . . . )

uk=

2

va

и

рассмотрим

ряды

2 ^ ( 0

и

^jUk(t

— ~4?k) как

слу­

чайные

ряды, заданные

на произведении

пространств

то

X &w = Qv4r.

Так как

Vn

и любой сдвиг

Vn

подобны,

эти

ряды

подобны.

Кроме того,

так

как

век­

торы

Vn

симметричны и независимы,

то

ряды 2

Vn

и

со

2

Vn

— 2 2 Uk — 2

±

Vn

подобны. Поскольку ряд 2

Vn

оо

1

п. н.

ограничен

в

С,

то

ряд

2^А

также

п. н.

огра-

ничен

в

С.

1