Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

оо

S *„cos(n* + <ig,

(1)

оо

2

e„*n cos(tt/ + cpn)

(ряды

Радемахера),

(2)

где

хп

и

ф„ — фиксированные

действительные

числа,

а {е„} последовательность Радемахера, и

0 0

2

rn

cos (pi +

2яш„)

(ряды

Штейнгауза),

(3)

п=0

где

г„

фиксированы

( г п > 0 ) ,

а {со„} — последователь­

ность

Штейнгауза.

Другой

интересный

случай,

когда

Хпе

п

— гауссовские

величины,

будет

рассмотрен

в гл.

X I I I .

Основные теоремы этой главы утверждают,

что

некоторые

свойства

ряда

(1)

имеют одинаковые

веро­

ятности. В

теореме Пэли—Зигмунда (1932 г.) речь

идет

о следующих свойствах (п. 3—5):

.«ряд

(1)

является

рядом

Фурье — Стильтьеса»;

«ряд

(1)

представляет функцию

из Lp»

( 1 ^ р <

оо);

«ряд

(1)

сходится

почти

всюду».

п

ГЛАВА V

В теореме Билларда (1964 г.) речь идет

о

следую­

щих

свойствах (п.

7,8):

«ряд (1) представляет ограниченную функцию»;

«ряд (1) представляет непрерывную функцию»;

«ряд (1)

сходится

всюду».

Эти теоремы доказываются различными методами.

Чтобы получить теорему

Пэли — Зигмунда,

мы

иссле­

дуем

ряд Радемахера

(2)

и убеждаемся,

что

все свой-

оо

ства

выполняются

с

вероятностью

1, если

^EiX2<.cx>,

оо

о

и с

вероятностью

0,

=

°°.

Интересен сле-

если ^Хп

о

оо

дующий побочный результат: если

2

хп =

оо,

то сущест-

о

оо

вует

такой

набор знаков

± , что ряд

^±xncos

(я£ +

ф„)

о

не является

рядом

Фурье — Стильтьеса. Удивительным

является тот факт,

что неизвестно,

как

выбирать

эти

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

7 ?

Если

задан

обычный

тригонометрический

ряд

оо

2

хп cos (nt +

ф„)

(хп,

ф„ действительны),

(4)

то

мы

пишем

«(4) с= М»,

если

ряд

(4)

является

рядом

Фурье — Стильтьеса,

т. е. существует мера

(t),

такая,

что

* 0 C O S C p o =

|

=

2 J

е±"»' d|i (t)

(п =

1,

2, . . .)•

Мы

пишем

«(4) е

Lp »,

если

ряд

(4)

является

рядом

Фурье

функции

/ c = L p

( 1 < р < ° ° ) ,

и

« ( 4 ) e C » , если

ряд (4) является рядом Фурье

непрерывной

функции

f,

т. е.

x0coscpo =

-^-

|

f{t)dt,

xne±l^ =

L

^

f { t

) e ± i n t

d

t

{ n

=

h

2 ,

...)•

Мы говорим также, что ряд (4) представляет меру

d\i

или

функцию

f.

Суммами

Фейера

ряда

(4)

являются

тригонометри­

ческие

полиномы

N

M 0

=

2

( l —jf)xncos{nt

+

<pJ

(N=l,

2, . . . ) .

Суммами

Пуассона

ряда (4)

являются

функции

со

Sr

(0 =

2 * У cos (nt + Ф „)

(0 <

г <

1);

они определены, если хп

=

о(егп)

при я - * о о

для

любого

е >

0.

aN(t)

Sr(t)

Если

ряд

(4)

сходится,

то

и

сходятся

к той же сумме (при N->oo

и г—>1

соответственно).

Однако обратное не имеет места.

Рассмотрим

М,

V,

С

как

банаховы

пространства

на

окружности;

L 1

является

замкнутым

подпростран-

74

ГЛАВА V

ством

М, а С —замкнутым подпространством L°°. Че­

рез ||

||р будем обозначать норму в LP ( l ^ p ^ o o ) .

П р е д л о ж е н и е 1.

( 4 ) е М

sup || ajv ||, < оо;

(4) е= V

N

в V (1 < р < оо);

<фф {в„} сходится

( 4 ) 6 l p

4^sup||a w || p < оо

( 1 < р < о о ) ;

( 4 ) е С

<ФФ {a/ V } сходится

в С.

применить

теорему

1 гл. I I (см. стр. 26). В результате

получим

в М;

(1)е=М

п. н. О

(1) п. н. ограничен

(1) е= V

п. н. О

(1) п. н. сходится

в L p ( 1 < | 0 < оо);

(1) €= V

п. н.

(1) п. н. ограничен

в L p (1 < р ^ о о ) ;

(1)е=С

п. н.

(I) п. н. сходится

в С.

Мы будем пользоваться и некоторыми другими клас­

сическими

результатами.

П р е д л о ж е н и е

2. Если

(4) <= М, то lim Sr

(/)

суще-

г->1

ствует для почти всех t

(а

именно

lim Sr (t) = \i'{t)

при

условии,

что правая

часть имеет смысл)

(см. Зигмунд [2],

стр.

167).

П р е д л о ж е н и е

3.

Если

ряд

(4)

является

рядом

Фурье функции

f (f €= L1 ), то lim 5 r (0 =

/ (t) почти

всюду.

Это очевидное следствие предложения 2.

П р е д л о ж е н и е

4.

Лели

{*,,} и {ср„} — dee

действи-

оо

тельные

последовательности

и 2-*г„=:00> то

2

JE2 cos2 (nt +

фп) =

°о для почг«

всея

t.

Д о к а з а т е л ь с т в о

основано

на

упр. 2

гл. I I I