Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

85

Далее, поскольку Uk

независимы и Р (|| Uh \\т >

т]) > т}

(k = 1, 2,

. . . ) , то по лемме

Бореля — Кантелли

имеем

Ш || Uk

II >

0 п. н. (Q„).

Применяя

предложение

12,

получаем

sup \im\Uk(t—

47ft) I > 0 п. н. (Qv 4 r).

ной на нем последовательностью Радемахера е,,

еА , ...

и рассмотрим ряды ^jUk{t — Wk) и ^ie.kUk(t — 4fk)

как

А к т Х Й 8 =

й т -

Так

как

Vn

симметричны,

то

эти

ряды подобны.

Далее,

поскольку

оо

sup

S |

£/*(/ —

Wft)

I2 =

оо

п.

н.

( Q K T ) ,

t

i

оо

то

почти

наверное

( Q V T e )

ряд

2

— ^к)

неогра­

ничен при

некотором

t

(теорема

4,

гл.

I I I , стр.

50).

Но так

как

мы

знаем,

что ряд

оо

п. н.

ограничен

в

С, то

приходим к

противоречию,

что

и доказывает

предложение

13.

Предложение

13 применимо и к ряду Штейнгауза (3).

7.

Сходимость

и

ограниченность в С или L°°

П р е д л о ж е н и е

14.

(3) е= L°°

п.

н.

(3) €= С

п. нш

Д о к а з а т е л ь с т в о . На стр. 74 мы уже отмечали, что

(l)e=L°°

п. н.#Ф(1)

п. н. ограничен

в

L°°,

( l ) e C n . н.#Ф(1)

п. н. сходится

в С и что это верно,

в

частности,

для

ряда

(3).

Полагая

гп

cos (nt

+

2яш„).=

=

Vn(t),

мы можем применить предложение 12, в резуль­

тате чего получим требуемую импликацию.

Теперь

наша

цель

состоит

в обобщении

предложе­

ния (14)

с помощью замены

ряда Штейнгауза

(3) общим

86

ГЛАВА V

рядом

(1). Сначала мы докажем, что это предложение

применимо к ряду Радемахера (2).

П р е д л о ж е н и е

15. (2) с= Ь°° п.

н. 0 ( 2 ) с= С

п. н.

Д о к а з а т е л ь с т в о

проводится

следующим

обра­

зом. Мы рассмотрим

сопряженный ряд

сю

2 e „ x n s i n H + cprt)

(10)

1

и докажем, что

(2)€=L°° п. н.=^(10)е=Г° п. н.

Затем

мы рассмотрим

ряды

S e ^ e ' V "

(11)

2

хпе2я1апеш,

(12)

88

ГЛАВА V

Наконец,

(10) е Г ,

если с о е Я. Так

как

событие

(10)sL°°

необходимо

имеет вероятность

0 или

1, то

Второй шаг.

Импликации

( l l ) e L ° ° п. н. =ф(12) е

L°°

п. н. и

(12) <= С

п. н. = ^ ( 1 1 ) е С

п. н. вытекают из

тео­

ремы

6

гл. I I

(см. стр. 39).

Импликация (12) е

L°°

п. н . ф ( 1 2 ) е С

п.

н.

следует

из

предложения

(14),

а импликация (11)еС=^>(2) е

С очевидна. Этим заканчи­

вается

доказательство

предложения

15.

Если

положить

хп

= гп,

то

ряд

(12) и ряд Штейн-

Т е о р е м а 2.

Если даны

ряд

Штейнгауза

(3) и

ряд

Радемахера

(2)

с одинаковыми

амплитудами

(хп — гп),-

то мы имеем

следующую ситуацию:

либо

оба

они п.

н.

представляют

непрерывную

функцию,

либо

почти

на­

верное ни один из них не

представляет

ограниченную

функцию.

Т е о р е м а

3. Следующие

утверждения эквивалентны:

a)

ряд

(1)

представляет

п.

н. ограниченную

функцию;

b)

ряд

(1)

представляет

п.

н. непрерывную

функцию;

c)

ряд

(1)

п.

н.

сходится

равномерно;

6)

ряд

(1)

п.

н.

сходится

всюду.