Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

76

ГЛАВА V

то \p(t)

| > y l l p I L

на

сегменте

о

2N2 ' 0 ^

2N2

3. Ряды Радемахера. Случай

2

=

°°

оо

о

х\ = оо, то (2) ф. М п. н.

П р е д л о ж е н и е 6. Если ^

о

Мы

приведем

два

доказательства

этого

важного

П е р в о е д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предло­

жению 4 имеем

0 0

2

4cos2 (rt/ +

<pn) =

oo

(5)

для

почти всех t.

По

теореме 4 гл. I I I (см. стр. 50)

оо

из

(5) следует, что ряд

2 гп*п

cos (nt + ср„) п. н. не сум-

верное не суммируем

методом

Пуассона почти

всюду.

Согласно

предложению 2, (2) ф. М п. н. Попутно нами

доказано

оо

П р е д л о ж е н и е

7. Если 2

х2 =

оо, то ряд (2) п. н.

расходится

почти

всюду.

В т о р о е д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

суммы

Фейера

N

<*N (0 =

J ] (1 — "J") еп*л COS (Я/ + Фя).

Положим

О •

/

Л?

\ 1/2

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ

ФУРЬЕ

77

и выберем

0 < А < 1 ,

г\ =

3 1

( l — А,2)2. Тогда неравен­

ство

Пэли — Зигмунда

(2) (см. стр. 49) дает

P(aN

(t)>XpN

Это

верно

для

любых

t

и

N.

Из

предложения

4

сле­

дует,

что существует

подмножество

V

точек

окружно­

сти и положительная последовательность р ^ - у о о ,

такие,

что mes V

=

я

и pN

(t) ^

pN

для t е= Т'. Пусть (§ =

ШN —

множество

пар

(со, t) е= Q X

Т',

такое,

что [ aN

(t) | ^

Apw .

Если

£ фиксировано,

то

через Et будем обозначать

множество

всех

со, для

которых

(о,/)е=.#";

аналогично,

если

фиксировано

со,

то

через

£ ш

будем

обозначать

множество

всех

t,

таких,

что

(со, /) е= 8.

Поскольку

P(Et)^n]

для

всякого

/ е= Г',

имеем

mes If =

J" Р (£<)

dt^ni\.

г

Пусть F = FN

обозначает

событие m e s ^ ^ T ) .

Полагая

mes If =

J

+

J

mes £ a

P (dco),

получаем

я л < я Р ( Л +

л ( 1 - Р ( ^ ) ) ,

(6)

т. е.

P(F)

=

P ( ^ ) > - ^ 1 5 .

Следовательно,

P ( l i r r 7 ^ ) > i ^ L .

Так

как

J l M * ) | d * >

j\oN(t)\dt^XpNmesEa,

имеем

im

Г | aN

(t) \dt

=

оо

N->oo

для со е= lim F^. Согласно

закону

нуля

и

единицы, это

СЛУЧАЙНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

7 9

мых случайных

величин

равно произведению их

мате­

матических

ожиданий

(см. стр. 17),

имеем

2

U

е

cos(n/+<p„)

=

П

8 {еКх^cos

( П ' + Ф

л ) ) =

П

ch (Ххп

cos (nt +

Ф„),

для любого /, при котором ряд

(2)

сходится,

т.

е.

почти всюду.

Так

как

c h « ^ e " J / 2 ,

то

получаем

нера­

венство

# ( e ^ < > ) < n / 4 / w 2 r / 2

Поскольку

из

соображений

симметрии

g-(FVn+li{t)) =

0

при

п =

0,

1, 2, . . . .

то

предыдущее

неравенство

можно записать в виде

л=0

где m2n{t)

=

S{Ft-2n){t)).

Выбирая

Х2

= 2п/г,

имеем

т2п

(0 <

(2«)!

(^уП

еп

<

Сп\

(2г)п

оо

со

8

(е ^> (0) =

2 2 £ m 2 „ (t) < С 2 (2Яг)" < оо,

если

Я <

1/(2г). Поскольку это неравенство справедливо

для

почти всех t,

то его

можно интегрировать; в ре­

зультате

получим

/ 2л

\

2я

80

ГЛАВА V

Следовательно,

J

eW"t«d/< оо

п. н.,

(7)

о

если

X < 1/(2г).

Покажем,

что

(7)

имеет место

для

произвольного

Я > 0. Действительно,

выберем

v так, что

2Я-2

хп< 1,

и положим

л=1

со

2

Д--п8„ COS ( Л / + ф„),

n = V

p v (0 = ^ ( 0 - ^ ( 0 -

Так

как е

v

е= L

п. н. и,

конечно,

е

V

G

L

И так

как

Р 2 < 2 ^

+

2Р 2 ,

то e w

' e L '

п. н. Тем самым

(7)

доказано.

F е= V

Очевидно,

из

(7)

следует,

что

п. н. для

всякого

р,

1 ^ р < о о

(однако не обязательно F е= L°°).

Установим следующий

результат:

оо

П р е д л о ж е н и е

10. £слы

2

*1 < 0

0 .

г<?

(2) е=

о

е=

|")

V

п.

н.

Кроме

того,

функция

F(t),

предста-

| < р < о о

вляемая

рядом

(2),

почти

наверное

удовлетворяет

усло­

вию

e X P ( i )

G= L 1

для

любого

X > 0.

Вторая часть этого утверждения есть простое след-

ствие того факта, что при любом X >

0 е

G

L

(0, 2 Я ) П . н.

Подчеркнем

особое

значение

предложения

10.

Если

У Р/6, cos {n,t +

lim - ^ ± L > 1,